伦敦方程 - Wikiwand
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伦敦方程

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当超导体的温度降至其超导临界温度以下时,超导体内的磁场会经由迈斯纳效应被排斥出去。伦敦方程为这样的效应提供了量化的解释。
当超导体的温度降至其超导临界温度以下时,超导体内的磁场会经由迈斯纳效应被排斥出去。伦敦方程为这样的效应提供了量化的解释。

伦敦方程超导体的电流与其里面及周围的电磁场联系起来,这两条方程是由弗里茨海因茨·伦敦两兄弟于1935年提出的。[1]它们可被视为超导现象最简单的有效描述,所以几乎所有介绍超导的现代教科书,都会把伦敦方程视为入门必修课[2][3][4]。这套方程组最大的成就,就在于它们成功地解释了迈斯纳效应[5];该效应指的是,当超导体温度低于超导的门槛后,它会愈来愈快地排斥掉其内部所有的磁场。

数学表述

以可量度的场表示时,伦敦方程共有两条:

其中为超导电流,EB分别为超导体内部的电场与磁场,基本电荷为电子质量,而为一现象常数,大致上与超导电子的数密度有关[6]。本条目全篇都使用高斯cgs单位制

另一方面,可以利用较抽象的概念——矢量场A,来把上面两条式子写成较简便的形式,也就独立一条的“伦敦方程”[6][7]

上述这条方程只有一个缺点,就是它一般不具有规范不变性,但只有在符合伦敦规范时,即矢量场A散度为零,才具有规范不变性 [8]

伦敦穿透深度

若使用安培定律来处理第二条伦敦方程的话[9]

这样最后会得出一条微分方程

因此从量纲可见,伦敦方程内含一特有的长度大小,,而在这个长度中,外来的磁场会被愈来愈快地被排斥。这个数值被称为伦敦穿透深度

举例说,一超导体与自由空间之间的边界是平的,而超导体外面的磁场大小是固定的,且方向跟z轴一致,与边界平面平行。若x从边界指向超导体内部,则内部的磁场解为

从上式可以较容易地理解到伦敦穿透深度的物理意义。

伦敦方程的基本原理

最初的论述

需要注意的是,上述各方程并不能用文字推导出来 [10],尽管如此,伦敦兄弟在表述这套理论时,还是有跟着一套凭直觉所得的逻辑。欧姆定律指出,电流与电场成正比;即使各种物质的构造不同,但是大致遵守欧姆定律的物质种类还是出奇地多。然而,超导体是不可能有这样的线性关系,因为超导时电流都没有电阻,而这点就是超导的定义。为了这一点,伦敦兄弟把超导电子想像成,受均匀外在电场影响的真空电子。根据洛伦兹力方程

这些电子应感受到一股均匀的力,并因此均匀地加速。第一条伦敦方程所描述的正是如此。

要得出第二条方程,先取第一条伦敦方程的旋度,然后使用法拉第定律

最后可得

就现时所得的方程而言,方程同时允许不变解及指数衰变解。伦敦兄弟从迈斯纳效应中察觉到,非零的不变解是不具有物理意义的,因此他们假定不单是上式的时间导数为零,还有括号内的式子也必须是零。由此得出第二条伦敦方程。

正则动量论述

要解释伦敦方程,还有其他方法[11][12]。电流密度的表示式如下:

要把上式由经典描述转为量子力学的描述,就必须把jv的数值,改为对应算符期望值。速度算符的表示式如下

把具有规范不变性的动态动量算符,除以粒子质量m,就能得到速度算符[13]。然后可以将速度算符代入电流密度的表示式。然而,超导的微观理论中有一个重要的假设,就是一系统的超导态是这个系统的基态,而根据布洛赫的一条定理[10],这样一个态的正则动量p为零。因此得

也就是上面用矢量场A所表示的伦敦方程。

注释及参考资料

  1. ^ London, F.; H. London. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor. Proc. Roy. Soc. (London). March 1935, A149 (866): 71. ISSN 0080-4630. 
  2. ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996. ISBN 0-07-064878-6. 
  3. ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 738. ISBN 0-03-083993-9. 
  4. ^ Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. 1999. ISBN 0-47-141526-X. 
  5. ^ Meissner, W.; R. Ochsenfeld. Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit. Naturwissenschaften. 1933, 21 (44): 787. Bibcode:1933NW.....21..787M. doi:10.1007/BF01504252. 
  6. ^ 6.0 6.1 James F. Annett. Superconductivity, Superfluids and Condensates. Oxford. 2004: 58. ISBN 0-19-850756-9. 
  7. ^ John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1999: 604. ISBN 0-19-850756-9. 
  8. ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 6. ISBN 0-07-064878-6. 
  9. ^ (因为假设了电场只会随着时间缓慢地变动,而且位移电流项已经受到1/c这个因子的压抑,因此可以视位移为零。)
  10. ^ 10.0 10.1 Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 5. ISBN 0-07-064878-6. 
  11. ^ John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1999: 603–604. ISBN 0-19-850756-9. 
  12. ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 5–6. ISBN 0-07-064878-6. 
  13. ^ L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Quantum Mechanics- Non-relativistic Theory. Butterworth-Heinemann. 1977: 455–458. ISBN 0-7506-3539-8. 
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