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克莱姆法则

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线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))} 向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵 向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积(向量积) · 内积(数量积) 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 (LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解) · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 查论编

克莱姆法则(英语:Cramer's rule),又称为克莱姆公式,是一个线性代数中的定理,用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在计算上,并非最有效率之法,因而在很多条等式的情况中没有广泛应用。不过,这一定理在理论性方面十分有效。

基本方程

一个线性方程组可以用矩阵向量的方程来表示:

其中的是一个方块矩阵,而向量 是一个长度为n行向量 也一样。

克莱姆法则说明:如果是一个可逆矩阵 ),那么方程(1)有解 ,其中

(1)

当中是被列向量取代了的第i列的列向量后得到的矩阵。为了方便,我们通常使用来表示,用来表示。所以等式(1)可以写成为:

抽象方程

为一个环,就是一个包含的系数的矩阵。所以:

当中就是的行列式,以及就是单位矩阵

证明概要

对于元线性方程组

把系数矩阵 表示成列向量的形式

由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解.

,即

考虑的值,利用行列式线性和交替性质,有

于是

例子

运用克莱姆法则可以很有效地解决以下方程组。

已知:

使用矩阵来表示时就是:

当矩阵可逆时,x和y可以从克莱姆法则中得出:

以及

用3×3矩阵的情况亦差不多。

已知:

当中的矩阵表示为:

当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:

、     以及  

微分几何上的应用

克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用。

先考虑两条等式。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我们可定义

找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用。

首先,我们要计算的导数:

代入,可得出:

因为互不相关,所以的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成:

现在用克莱姆法则就可得到:

用两个雅可比矩阵来表示的方程:

用类似的方法就可以找到以及

基本代数上的应用

克莱姆法则可以用来证明一些线性代数中的定理,当中的定理对环理论十分有用。

线性规划上的应用

克莱姆法则可以用来证明一个线性规划问题有一个基本整数的解。这样使得线性规划的问题更容易被解决。

外部链接

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