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克鲁尔维数

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交换代数中,一个环的克鲁尔维数定义为素理想链的最大长度。此概念依学数家 Wolfgang Krull(1899年-1971年)命名。

定义

设交换环 中有 素理想 ,使得

则称之为长度为 素理想链,一个无法插入新的素理想的链被称作极大的。克鲁尔维数定义为素理想链的最大可能长度,这也等于是 中素理想的最大可能高度

根据定义, 的维数与对素理想的局部化有下述关系

其中 的所有素理想所成集合。我们也可以仅考虑为极大理想。当 链环时,对各极大理想的局部化皆有相同维数;代数几何处理的交换环通常都是链环。

例子与性质

例如在环 中可考虑以下的素理想链

因此 ;事实上可证明其维数确实为 3。以下是克鲁尔维数的几个一般性质:

  • 零维的整环
  • 离散赋值环戴德金整环是一维的。
  • ,则 ;当 诺特环时则
  • ,则
  • -代数,同时又是有限生成的 -模,则

与几何的关系

代数几何中,一个概形的维数被定义为各局部环的克鲁尔维数的上确界;对于仿射概形 ,则回归到

为域, 是有限型 -整代数,这是代数几何中的主要案例。根据诺特正规化引理,存在非负整数 中彼此代数独立的元素 ,使得 是有限生成之 -模,因此 。从几何观点看, 此时是 的有限分歧覆盖,因而克鲁尔维数确实合乎下述几何直观:

  1. 是分歧覆盖,则

特别是当 时,代数簇的克鲁尔维数等于复几何中定义的维数。

文献

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