克鲁斯卡尔坐标系(或称作克鲁斯卡尔-塞凯赖什坐标系,英文Kruskal coordinates或Kruskal-Szekeres coordinates)是在史瓦西度规下建立的一种坐标系,名称来自于美国数学物理学家马丁·克鲁斯卡尔(Martin Kruskal)和匈牙利-澳大利亚数学家乔治·塞凯赖什。这种坐标系的优点在于它能够涵盖整个时空流形,使得奇点之外的所有点在坐标系中都存在定义,也就是说它能够将原有的在球坐标系下的史瓦西度规最大限度地推广到整个时空中。
考虑在球坐标系下的史瓦西度规
其中
是二维球面的线元。
将时间坐标和径向坐标做如下代换:
- 对于视界外部的区域,
- 对于视界内部的区域,
在这些坐标下,史瓦西度规由下式给出:
其中的定义被隐含在
或等价于
其中是朗伯W函数。
这组由构成的坐标系称作Kruskal坐标系,有时也称作Kruskal-Szekeres坐标系。
史瓦西黑洞的视界位于,此时
的右面为零,从而有
即史瓦西黑洞的视界在T-R平面上是两条45°的对角线。
对于一般的常数,可以得到
即它们是T-R平面上的一组双曲线。
对于一般的常数,
它们是通过原点的斜率为的直线。注意到当时,从而等价于的情形。这表明和描述的是同一个面。
对于球坐标系下的史瓦西解而言,存在物理意义的径向坐标的范围是,且;但从上节我们已经看到在Kruskal坐标系中,在避免撞上奇点的前提下所允许的R的范围是从负无穷大到正无穷大,并且。在Kruskal图中所描述的史瓦西解被称作最大延伸的史瓦西解(Maximally Extended Schwarzchild Solution),从图3中可以看到它包含有通过视界分割的四个不同的时空:
- 区域I——史瓦西几何中的时空,也就是黑洞视界以外,我们的渐进平直时空。
- 区域II——史瓦西几何中的时空,也就是史瓦西黑洞的内部。任何从区域I经过视界到达区域II的物体都无法返回区域I,并且它们的最终命运都是撞上奇点。
- 区域III——史瓦西几何中区域的时间反演,也就是说物体可以从区域III经过视界到达区域I,但它们都无法返回区域III。这就是理论上一个白洞的物理概念:白洞具有一个类似于宇宙大爆炸那样的过去的奇点,同时具有过去的视界(相对于区域II中未来的奇点和未来的视界)。
- 区域IV——同样作为的渐近平直时空,却不能通过时间流逝或反演从区域I到达区域IV,或者反过来从区域IV到达区域I,这是我们宇宙的一个镜像。在理论上,能够在这两个宇宙间建立联系的方法是虫洞(爱因斯坦-罗森桥)。假设将Kruskal图上所描述的时空以T为常数切成多个类空的表面,则在史瓦西几何中能够在短时间内存在一个连接两个渐进平直时空的虫洞。但在理论上,这个虫洞的敞开时间太短以至于任何类时的观察者都无法通过虫洞到达镜像时空中。
- Misner, Thorne, Wheeler. Gravitation. W H Freeman and Company. 1973. ISBN 0-7167-0344-0 (英语). 第32.6节
- Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Hardcover). Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322 (英语). 第5.7节