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内射维度、投射维度与同调维度

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投射维度内射维度同调维度(又称整体维度)是交换代数中考虑的重要不变量

定义

以下设 交换环,而 -

内射维度 定义为其内射分解的最短长度(当 时置 )。投射维度 则定义为其投射分解的最短长度。

利用同调代数的工具,可以进一步得到下述刻划:

命题一. 设 为整数,下述条件等价:

  • 对所有 -模 ,有
  • 对所有理想 ,有
  • 对所有正合序列 ,若每个 都是内射模,则 也是内射模。

命题二. 设 为整数,下述条件等价:

  • 对所有 -模 ,有
  • 对所有正合序列 ,若每个 都是投射模,则 也是投射模。

诺特环 为有限生成 -模时,上述条件更等价于

  • 对所有极大理想 ,有
  • 对所有极大理想 ,有

由此可定义环 同调维度 为:

  • 存在 -模 使得 的最大整数 (可能是无穷大)。

性质

内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系:

其中的 取遍 的所有素理想(或极大理想),而投射维度给出 上半连续函数。事实上,仅须考虑 的支撑集中的素理想。

由此立刻得到

此外,它们与模的深度也有密切的关系,例如:

定理 (Auslander-Buchsbaum):设 为局部诺特环 为有限生成 -模,而且其投射维度有限,则

定理:设 为局部诺特环 为有限生成 -模,而且其内射维度有限,则

最后,同调维度为正则局部环给出了一个完全内在的刻划:

定理(Serre):一个局部诺特环 是正则局部环的充要条件是 ,此时

文献

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