内自同构 - Wikiwand
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内自同构

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抽象代数群论中,内自同构自同构的一种。设gG的一个元素,则g对应的内自同构,是以g共轭作用定义如下

G的一个自同构,如果是G的元素的共轭作用,便称为内自同构

性质

gG的中心Z(G)内,则是平凡的。因此阿贝尔群的内自同构都是平凡的。一般而言,不动点集,正是g中心化子CG(g)。

内自同构逆元。两个内自同构复合

由群的中心的基本性质可知,若Inn(G)是循环群,则Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G无中心,则G称为完备群

G完满群且Inn(G)是单群,则G称为拟单群。

内自同构群

G的内自同构组成内自同构群Inn(G)。内自同构群Inn(G)与群G对其中心Z(G)的商群G/Z(G)同构。

内自同构群Inn(G)是G的自同构群Aut(G)中的正规子群,其对应商群记为Out(G)=Aut(G)/Inn(G),称为外自同构群

上述关系可以用以下两个短正合列表示:

正规子群

G的子群HG正规子群,当HG的任一内自同构的作用下不变。这时G的内自同构限制到H上是H的自同构(未必是H的内自同构),因而有群同态。这个群同态的HG中的中心化子CG(H)。

对一般的子群H,可取其在G中的正规化子NG(H),则H是NG(H)的正规子群,故有群同态,其核是CG(H)。因此NG(H)/CG(H)可以嵌入到Aut(H)内,即

单射

参考

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内自同构
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