六角六片三角孔扭歪无限面体

在几何学中，六角六片三角孔扭歪无限面体（日语：六角六片三角孔ねじれ正多面体）^[1]是一种由正六边形组成的正扭歪无限面体，具有正三角形的孔洞，由考克斯特和皮特里于1926年时发现^[2][3]，并命名为多四面体（英语：Mutetrahedron）^[4]，在施莱夫利符号中计为{6,6|3}。

六角六片三角孔扭歪无限面体

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类别	正扭歪无限面体
对偶多面体	六角六片三角孔扭歪无限面体 （自身对偶）
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	mut
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{6,6|3}
性质
面	无限个正六边形
边	无限
顶点	无限 6个正六边形的公共顶点
组成与布局
顶点图	扭歪六边形 {3}#{ }
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	同于过截角交错立方体堆砌（英语：Quarter cubic honeycomb）
特性
扭歪、 点可递
图像
扭歪六边形 {3}#{ } （顶点图） 六角六片三角孔扭歪无限面体 （自身对偶） （对偶多面体）
查 论 编

六角六片三角孔扭歪无限面体是一个自身对偶多面体，换句话说即此多面体的对偶多面体为自己本身，即六角六片三角孔扭歪无限面体^[5]。在结构上，六角六片三角孔扭歪无限面体可以看做是由正四面体与截角四面体的空间填充的形状——过截角交错立方体堆砌（英语：Quarter cubic honeycomb）中移除所有正三角形面、只保留正六边形面的后所形成的扭歪无限面体^[6]。

性质

六角六片三角孔扭歪无限面体与其对偶多面体的复合体

六角六片三角孔扭歪无限面体由无限个正六边形组成，每个顶点都是6个正六边形的公共顶点，在顶点图中为一个扭歪六边形，此扭歪六边形可以视为正八面体的皮特里多边形，为下图中的黑线部分。

而在所有三个正扭歪无限面体中，四角六片四角孔扭歪无限面体的顶点图也是扭歪六边形，且同样为正八面体的皮特里多边形，但是他们有些不同，如下图所示，六角六片三角孔扭歪无限面体的顶点图为左图的绿色实线；四角六片四角孔扭歪无限面体为右图的黄色实线，线上的数字表示该棱所位在的多边形面之边数。

六角六片三角孔扭歪无限面体	四角六片四角孔扭歪无限面体

他们的差别在于来自不同的多边形面，六角六片三角孔扭歪无限面体顶点图的扭歪六边形，其来源正八面体的棱有的来自正三角形面、有的来自正六边形面；而四角六片四角孔扭歪无限面体的顶点图，其来源正八面体的棱全部来自正方形面，造成的结果是，当两者边长相等时，其所对应顶点图的边长会不相等。

六角六片三角孔扭歪无限面体由无限个正六边形组成，并且在中间形成正三角形的孔洞，在施莱夫利符号中计为{6,6|3}，第一个6表示其由正方形构成，第二个6表示每个顶点都是6个正六边形的公共顶点，横线后面的3表示几何体中间有正三角形的孔洞。

使用

六角六片三角孔扭歪无限面体出现于部分的流行文化创作中，例如作曲家きくお（日语：きくお）在其使用初音未来演唱的专辑《きくおミク5》中的歌曲《六角六片三角孔ねじれ正多面体ですか？》是一个以六角六片三角孔扭歪无限面体为主题的创作^[7]。

相关多面体与镶嵌

六角六片三角孔扭歪无限面体是三种正扭歪无限面体之一，另外两种为：

图像	四角六片四角孔扭歪无限面体	六角四片四角孔扭歪无限面体	六角六片三角孔扭歪无限面体
施莱夫利符号	{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

六角六片三角孔扭歪无限面体在拓朴中相当于六阶六边形镶嵌（施莱夫利符号：{6,6}）的商空间，即六角六片三角孔扭歪无限面体可透过拓朴变形成六阶六边形镶嵌。

其他六角六片扭歪无限面体

有些扭歪无限面体的顶点同样为6个正六边形的公共顶点，例如六角六片四角孔扭歪无限面体。

六角六片四角孔扭歪无限面体

在几何学中，六角六片四角孔扭歪无限面体（日语：六角六片四角孔ねじれ正多面体）是一种位于双曲紧凑空间的正扭歪无限面体。其在施莱夫利符号中计为{6,6|4}，表示每个顶点都是6个正六边形的公共顶点，并且具有正方形的孔洞。

六角六片四角孔扭歪无限面体于1967年时由C. W. L. Garner发现^[8]，可看作是由循环截角八面体-立方体堆砌（Cyclotruncated octahedral-cubic honeycomb）移除所有正方形面来构造。

六角六片五角孔扭歪无限面体并不是一个自身对偶多面体，其对偶多面体为八角八片三角孔扭歪无限面体，在施莱夫利符号中用{8,8|3}表示，与其相同顶点布局的堆砌体为循环截角立方体-八面体堆砌（Cyclotruncated cubic-octahedral honeycomb）。

六角六片五角孔扭歪无限面体

在几何学中，六角六片五角孔扭歪无限面体（日语：六角六片五角孔ねじれ正多面体）是一种位于双曲紧凑空间的正扭歪无限面体。其在施莱夫利符号中计为{6,6|5}，表示每个顶点都是6个正六边形的公共顶点，并且具有正五边形的孔洞。

六角六片四角孔扭歪无限面体于1967年时由C. W. L. Garner发现^[8]，可看作是由循环截角二十面体-十二面体堆砌（Cyclotruncated icosahedral-dodecahedral honeycomb）移除所有正五边形面来构造。

六角六片五角孔扭歪无限面体的对偶多面体为十角十片三角孔扭歪无限面体，在施莱夫利符号中用{10,10|3}表示，与其相同顶点布局的堆砌体为循环截角十二面体-二十面体堆砌（Cyclotruncated dodecahedral-icosahedral honeycomb）。

六角六片六角孔扭歪无限面体

在几何学中，六角六片六角孔扭歪无限面体（日语：六角六片六角孔ねじれ正多面体）是一种位于双曲仿紧空间的正扭歪无限面体，其不仅所有面都是正六边形，连其孔洞也为正六边形。其在施莱夫利符号中计为{6,6|6}，表示每个顶点都是6个正六边形的公共顶点，并且具有正六边形的孔洞。

参见

• 正多面体
• 正扭歪无限面体
• 空间填充的形状

参考文献

1. Petrie–Coxeter Maps Revisited （页面存档备份，存于互联网档案馆） PDF, Isabel Hubard, Egon Schulte, Asia Ivic Weiss, 2005
2. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5,
3. Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
4. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]（页面存档备份，存于互联网档案馆）
   • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
5. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)

1. 正多面体を解く. Tokai library. 东海大学出版会. 2002 [2018-09-02]. ISBN 9784486015871. （原始内容存档于2018-09-02）.
2. Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
3. いくろ こたろ. ねじれ多面体. geocities.jp. [2018-09-02]. （原始内容存档于2018-10-08）.
4. The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
5. kotetu. 準結晶とウイルスの意外な関係. eonet.ne.jp. 2017-03-31 [2018-09-02]. （原始内容存档于2017-08-13）.
6. 正多面体を解く2002 ^[1] 第6章　ねじれ正多面体：ねじれ多面体の具体的构成法
7. Kikuo Miku 5. bandcamp.com. [2018-09-02]. （原始内容存档于2018-09-02）.
8. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Regular Skew Polyhedron. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Honeycombs and sponges. MathWorld.