凯泽窗 (Kaiser window)是由贝尔实验室 的James Kaiser所提出的。凯泽窗是一个单参数的窗函数 群,用在数码信号处理 中,其定义如下[ 1] [ 2] :
w
[
n
]
=
{
I
0
(
π
α
1
−
(
2
n
N
−
1
−
1
)
2
)
I
0
(
π
α
)
,
0
≤
n
≤
N
−
1
0
otherwise
,
{\displaystyle w[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N-1}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n\leq N-1\\\\0&{\mbox{otherwise}},\\\end{matrix}}\right.}
凯泽窗
其中:
N 为序列的长度
I 0 是零阶的第一类修正贝索函数
α 是任意非负实数,用来调整凯泽窗的外形。在频域 上可以在主瓣(main-lobe)宽度及旁瓣(side lobe)大小中取拾,这是窗函数设计的重要考量因素。
若N 为奇数,窗函数最大值会在
w
[
(
N
−
1
)
/
2
]
=
1
,
{\displaystyle \scriptstyle w[(N-1)/2]=1,}
。若N 为偶数,窗函数最大值会在
w
[
N
/
2
−
1
]
=
w
[
N
/
2
]
<
1.
{\displaystyle \scriptstyle w[N/2-1]\ =\ w[N/2]\ <\ 1.}
。
若将上述离散数列视为是连续函数,并进行傅立叶变换 :
I
0
(
π
α
1
−
(
2
t
(
N
−
1
)
T
)
2
)
I
0
(
π
α
)
⏟
w
0
(
t
)
⟺
F
(
N
−
1
)
T
⋅
sinh
(
π
α
2
−
(
(
N
−
1
)
T
⋅
f
)
2
)
I
0
(
π
α
)
⋅
π
α
2
−
(
(
N
−
1
)
T
⋅
f
)
2
⏟
W
0
(
f
)
.
{\displaystyle \underbrace {\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2t}{(N-1)T}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}} _{w_{0}(t)}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad \underbrace {\frac {(N-1)T\cdot \sinh \left(\pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot \pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}}} _{W_{0}(f)}.}
两个不同α参数凯泽窗的傅立叶变换
w 0 (t )的最大值为w 0 (0) = 1. 上述的w [n]数列为以下函收的取様:
w
0
(
t
−
(
N
−
1
)
T
2
)
⋅
rect
(
t
−
(
N
−
1
)
T
/
2
N
T
)
,
{\displaystyle w_{0}\left(t-{\tfrac {(N-1)T}{2}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-(N-1)T/2}{NT}}\right),}
,在间隔T的时间进行取样。
而且rect()为矩形函数 . W 0 (f )主瓣后的第一个零点在:
f
=
1
+
α
2
N
T
,
{\displaystyle f={\frac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{NT}},}
[ 3]
调整α 可以在主瓣的宽度及旁瓣大小中进行取舍。若α 增加,W 0 (f )主瓣的宽度增加,而旁瓣的大小减小,如右图所示。α = 0会对应长方形的窗函数。若α 增加,时域及频率下凯泽窗的形状都会接近高斯 曲线。凯泽窗在频率0附近的集中程度是几乎最佳化的(Oppenheim et al. , 1999)。
Kaiser, James F.; Ronald W. Schafer. On the Use of the I0-Sinh Window for Spectrum Analysis. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. February 1980,. ASSP-28 (1): 105–107.
Kaiser, James F.; Schafer, Ronald W. On the use of the I0 -sinh window for spectrum analysis. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1980, 28 : 105–107. doi:10.1109/TASSP.1980.1163349 .
Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W.; Buck J. R. Discrete-time signal processing . Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2 .
Kaiser, J. F. (1966). Digital Filters. In Kuo, F. F. and Kaiser, J. F. (Eds.), System Analysis by Digital Computer , chap. 7. New York, Wiley.
Craig Sapp, Kaiser-Bessel Derived Window Examples and C-language Implementation , Music 422 / EE 367C: Perceptual Audio Coding (Stanford University course page, 2001).