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凯莱定理

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群论中,凯莱定理,以阿瑟·凯莱命名,声称所有G 同构于在G上的对称群子群。这可以被理解为GG的元素上的群作用的一个例子。

集合G排列是任何从GG双射函数;所有这种函数的集合形成了在函数复合下的一个群,叫做“G上的对称群”并写为Sym(G)。

凯莱定理通过把任何群(包括无限群比如(R,+))都当作某个底层集合的置换群,把所有群都放在了同一个根基上。因此,对置换群成立的定理对于一般群也成立。

历史

Burnside[1] 将其归功于Jordan[2],但是 Eric Nummela[3]争论说这个定理的名字“凯莱定理”事实上是合适的。凯莱在他最初介绍群概念的1854年论文[4]中证明了定理中的对应是一一对应,但是没能明确的证明它是同态(因此是同构)。但是,Nummela提示大家注意凯莱让当时的数学界知道了这个结果,因此比Jordan要提前了16年。

定理的证明

初等群论中,知道了对于任何G中元素g必然有g*G = G;并通过消除规则知道了g*x = g*y当且仅当x = y。所以左乘g充当了双射函数fg : GG,通过定义fg(x) = g*x。所以,fgG的排列,并因此是Sym(G)的成员。

Sym(G)的子集K定义为

K = {fg : gG并且fg(x) = g*x对于所有xG}

是同构于G的Sym(G)的子群。得出这个结果的最快方式是考虑函数T : G → Sym(G)对于所有G中的g有着T(g) = fg。(对Sym(G)中的复合使用"·"),T群同态因为:

(fg · fh)(x) = fg(fh(x)) = fg(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f(g*h)(x),对于所有G中的x,因此:
T(g) · T(h) = fg · fh = f(g*h) = T(g*h)。

同态T也是单射因为:T(g) = idG(Sym(G)的单位元)蕴含了对于所有G中的xg*x = x,选取xG的单位元e产生g = g*e = e。可替代的,T(g)也是单射因为:g*x=g*x' 蕴含x=x' (通过左乘上g的逆元,因为G是群所以一定存在)。

因此G同构于T的像,它是子群K

T有时叫做G的正规表示。

另一个的证明

另一个证明使用了群作用的语言。考虑群为G-集合,可以证明它有排列表示

首先假设带有。则根据G-轨道分类这个群作用是(也叫做轨道-稳定集定理)。

现在这个表示是忠实的,如果是单射,就是说,如果的核是平凡的。假设 ∈ ker ,则,通过排列表示和群作用的等价性。但是因为 ∈ ker , 并因此ker 是平凡的。则im 并因此利用第一同构定理得出结论。

对正规群表示的注记

单位元对应于恒等排列。所有其他的群元素对应于不留下任何元素不变的排列。会因为这也适用于群元素的幂,小于这个元素的阶,每个元素对应于由相同长度的环构成的排列:这个长度是这个元素的阶。在每个环中的元素形成了这个元素生成的子群的左陪集

正规群表示的例子

Z2 = {0,1}带有模2加法,群元素0对应于恒等排列e,群元素1对应于排列 (12)。

Z3 = {0,1,2}带有模3加法;群元素0对应于恒等排列e,群元素1对应于排列 (123),而群元素2对应于排列 (132)。比如1 + 1 = 2对应于 (123)(123)=(132)。

Z4 = {0,1,2,3}带有模4加法;它的元素对应于e, (1234), (13)(24), (1432)。

克莱因四元群{e, a, b, c}的元素对应于e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S3(6阶二面体群)是三个对象的所有排列的群,但也是6个群元素的置换群:

* e a b c d f 排列
e e a b c d f e
a a e d f b c (12)(35)(46)
b b f e d c a (13)(26)(45)
c c d f e a b (14)(25)(36)
d d c a b f e (156)(243)
f f b c a e d (165)(234)

引用

  1. ^ Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order 2, Cambridge, 1911 
  2. ^ Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870 
  3. ^ Nummela, Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, 1980, 87 (3): 202–203 
  4. ^ Cayley, Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, Phil. Mag., 1854, 7 (4): 40–47 

参见

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