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函数

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函数
  
    
      
        f
        (
        )
      
    
    {\displaystyle f()}
  
就像机器或黑箱,给予输入值
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
便产生唯一输出值
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
。
函数就像机器或黑箱,给予输入值便产生唯一输出值

函数数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系:输入值集合中的每项元素皆能对应​​唯一一项输出值集合

中的元素。例如实数对应到其平方的关系就是一个函数,若以作为此函数的输入值,所得的输出值便是

为方便起见,一般做法是以符号等等来指代一个函数。若函数作为输入值,则其输出值一般写作,读作'f of x' 。上述的平方函数关系写成数学式记为。函数的概念并不局限于数之间的映射关系,例如若定义函数为每个国家当前的首都,那么给予输入值西班牙就会输出唯一值马德里气温的分布也能用函数表达,以时间和地点作为参量输入,以该时该地的温度作为输出。表达函数有多种方式,例如解析法是用数学式表达两个变量之间的对应关系,图像法是用坐标系上的函数图形表达两个变量之间的对应关系,列表法用表格表达两个变量之间的对应关系。

现代数学中[1],函数所有输入值的集合被称作该函数的定义域,而其输出值所存在的集合称为到达域。其中值域特指该函数的输出值集合,意即上域包含了值域,值域为上域的子集。通常输入值称作函数的参数参量,输出值称作函数的。函数将有效的输入值变换为唯一的输出值,同一输入总是对应同一输出,但反之未必成立。因此如这样的表达式并没有定义出一个函数,因为输出值有两个可能。定义函数时需确定每一个输入值只对应唯一输出值,因此必须明确地选择一个平方根。例如定义,亦即对于任何非负输入值,选择其非负平方根作为函数值。

函数可以看作机器或黑箱,通常最常见的函数的参数和函数值都是数字,其对应关系用函数式表示,函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。的平方即是函数值。也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况。例如有两个参量,以乘积为值。将这两个输入看作一个有序对即为以这个有序对作参数的函数,而函数值是。函数能被抽象定义为某种数学关系,由于其定义的一般性,在几乎所有的数学分支都是基础概念。一些领域中比如在λ演算中,函数可以是作为一个原始概念而不像在集合论般有所定义。在大部分的数学领域内,术语对应映射、变换通常是函数的近义词。不过某些情况这些术语可能有别的特定意思,例如在拓扑学中一个映射有时被定义成一个连续函数

定义

函数f的部分图像。每个实数的x都与f(x) = x3 − 9x相联系。
函数f的部分图像。每个实数的x都与fx) = x3 − 9x相联系。

从输入值集合到可能的输出值集合的函数(记作)是关系,满足如下条件:

  1. 完全的:对集合中任一元素都有集合中的元素满足相关的)。即,对每一个输入值,中都有与之对应的输出值。
  2. 多对一的:若,则。即,多个输入可以映射到一个输出,但一个输入不能映射到多个输出。

定义域中任一在到达域中唯一对应的记为

比上面定义更简明的表述如下:从映射到的函数直积子集中任一都与中的唯一对应,且有序对属于

的关系若满足条件(1),则为多值函数。函数都是多值函数,但多值函数不都是函数。的关系若满足条件(2),则为偏函数。函数都是偏函数,但偏函数不都是函数。除非特别指明,本条目中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。 考虑如下例子:

(1)一对多。X中的元素3与Y中的两个元素bc相关。因此这是多值函数,而不是函数。
(2)一对一但非完全对应。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数,而不是函数。
(3)完全对应且多对一,因此这是从XY的函数。此函数可以表示为f ={(1, d), (2, d), (3, c)},或


函数的判别

除了利用函数的定义之外,还可以利用竖直判别法,即函数的图形与任何一条平行于 y 轴的直线不能有一个以上的交点。

历史

函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的,用来描述跟曲线相关的一个量,如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数,数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限导数,此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系,是微积分学的基础。中文的“函数”一词由清朝数学家李善兰译出。其《代数学》书中解释:“凡此变量中函(包含)彼变量者,则此为彼之函数”。

  • 1718年,约翰·伯努利把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”
  • 1748年,伯努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说:“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”,例如
  • 1775年,欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义:“如果某些量以如下方式依赖于另一些量,即当后者变化时,前者本身也发生变化,则称前一些量是后一些量的函数。”
  • 19世纪的数学家开始对数学的各个分支进行形式化。维尔斯特拉斯倡议将微积分学建立在算术,而不是几何的基础上,这种主张较趋向于欧拉的定义。
  • 函数的定义得以扩展之后,数学家便能对一些“奇怪”的数学对象进行研究,例如处处不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值,迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后,人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。
  • 到19世纪末,数学家开始尝试利用集合论来进行数学的形式化。他们试图将每一个数学对象都定义为集合狄利克雷给出了现代正式的函数定义(参见下文#正式定义)。在他的定义下,函数被视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况,现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。

表示方法

  • 描述法
  • 表格
  • 公式法
  • 图形

分段函数

分段函数(德语:Abschnittsweise definierte Funktion),在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,这样的函数通常叫分段函数。分段实际上是一种表达函数的方式,而不是函数本身的一个特征,但是具有额外的限定,可以描述函数的本质。

函数图形

sin(x)等函数的图形。

函数在平面上的图形是点对的集合,其中取遍定义域上的所有成员。函数图形可以帮助理解证明一些定理。 注意函数图形可以有两个定义:一是三元组,其中是函数的定义域,是函数的到达域,关系的图;二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数等于其图形。

单射、满射与双射函数

  • 单射函数,将不同的输入值映射到不同的函数值。即:若属于定义域,则仅当时有
  • 满射函数,其值域即为其到达域。即:对于映射的到达域中之任意,都存在至少一个满足
  • 双射函数,既是单射的又是满射的函数。也叫一一对应、双射。双射函数经常被用于表明集合是等的,即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应,则说这两个集合等势。

定义域与值域、陪域

  • 定义域:原像集,自变量的取值集合。
  • 值域:像集,因变量的取值集合。
  • 陪域:值域所属的全集。

像和原像

元素之下的就是

子集之下的像,是以的元素的像所组成的集合,为的一个子集,即

注意的值域就是定义域的像。在#正式定义一节的最后例子中,的像是,而的值域是

根据此定义,可引申成为由幂集(由的子集组成的集)到的幂集之函数,亦记作

子集原像(或逆像)是如下定义的的子集:

沿用同一例子,我们可以看到的原像是,即空集

根据此定义,是由的幂集到的幂集之函数。

以下是的一些特性:

这些特性适合定义域的任意子集和到达域的任意子集,甚至可推广到任意子集群的交集并集

函数范例

  • 首都之于国家(若不把多首都国[1] 计算在内)。
  • 每个自然数的平方的函数。
  • 对数函数实数的函数。注意,虽然可以把对数函数推广到复数情况,但结果就不是函数了,而是多值函数。
  • 对每个在平面上的点,其和原点的距离是确定的。

常用的数学函数包括多项式函数、根式函数、幂函数对数函数有理函数三角函数反三角函数等。它们都是初等函数。非初等函数(或特殊函数)包括伽马函数贝塞尔函数等。

函数的分类

函数可分为

复合函数

函数复合函数

举例,飞机在时刻的高度是,而高度处的氧气浓度是,则在时刻飞机周围的氧气浓度是

可自我复合;此时复合函数可记作(不要与三角学的符号混淆)。函数的幂的定义是对自然数

反函数

互为反函数,并且于镜射于轴上。

对一个函数f: XY,若值域Y中任何一个元素y的原象是唯一的,那么这个函数就被称为是双射的。对任意的yY到它的原象ƒ−1(y)的映射,我们称之为f的反函数,记为f−1

举一个反函数的例子,比如ƒ(x) = x3,它的反函数是ƒ−1(x) = 。同样,2x的反函数是x/2。反函数是一个函数,它能够“抵消”它的原函数,并具有和原函数相同的单调性。参见逆映射

函数的限制及扩张

给出的子集以及函数

称为限制

反之,若给出函数

当一个定义在的函数就是扩张

点态运算

设函数f: XRg: XRX为共同的定义域及R为共同的到达域。我们可以定义“函数和”f + g: XR及“函数积”f×gXR如下:

(f + g)(x) := ƒ(x) + g(x);
f×g(x) := ƒ(xg(x);

对于所有X中的x

这样子我们得出一个函数组成的环。这是一个抽象性扩张的例子,由此我们从较简单的结构得出更复杂的。

若然用别的代数结构A代替R,得出的由XA的函数集会类似地拥有和A相同的代数结构。

歧义函数

歧义函数,也称多值函数,指有输出值多于一个的情况。例如,4的平方根可以是2或者-2,而两者的平方皆是4。

严格来说,歧义函数不完全算是函数,因为数学函数的定义对于一个输入值只能有唯一一个输出值。实际上,这样的“函数”通常被称为关系式。复变函数理论采用黎曼面处理函数多值的困境。

一元函数

设 D 是实数集 R 中的非空子集,称映射 f : D -> R 为定义在 D 上的一元函数

多元函数

多元函数(n-元函数)是指输入值为n-元组的函数。或者说,若一函数的输入值域为n个集合的笛卡尔积的子集,这函数就是n-元函数。例如,距离函数dist((x,y))是一个二元函数,输入值是由两个点组成的序对。另外,多复变函数(即输入值为复数的多元组)是一个重要的数学课题。

抽象代数中,算子其实都是函数,如乘法"*"是个二元函数:当我们写x*y时,其实是用上了*(x,y)的中缀表示法

函数式程序设计是一个以函数概念为中心的重要理论范式,其中的运算对象为多元函数,基本语法基于λ演算,而函数的复合则采用代换来完成。特别地,通过一种称为柯里化的变换,可将多元函数变换为一元函数。

可计算和不可计算函数

所有从整数到整数的可计算函数的个数是可数的,这是因为所有可能的算法个数是可数的。从整数到整数的函数个数要更多些-和实数个数一样多,也就是说是等的。这说明有些从整数到整数的函数是不可计算的。关于不可计算函数,请参看停机问题莱斯定理OEIS中有一个经典的例子:OEISA102288

范畴论观点下的函数

范畴论中,函数的槪念被推广为态射的槪念。

一个范畴包括一组对象与一组态射,每一个态射是个三元组(X, Y, f),X称为源对象(定义域的类比),Y称为目标对象(到达域的类比),而源对象与目标对象是范畴内的对象。基于这种解释,可以把函数看作集合范畴里面的态射。

参考文献

  1. ^ MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett. Algebra First. New York: Macmillan. 1967: 1–13. 

外部链接

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