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函数图形

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函数 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2))
  
 的图形。
函数 的图形。
sin(x)等函数的图形。

在数学中,函数 f图形(或图像)指的是所有有序对(x, f(x))组成的集合具体而言,如果x实数,则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2),则图形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))组成的集合,呈现为曲面(参见三维计算机图形)。

实函数的图形拥有其唯一的图像。而对于一般的函数,其图形形式无法应用,图形的正式定义取决于数学表述的需要,例如泛函分析中的闭图像定理

函数图形的概念由二元关系图形推广而来。需要注意的是,尽管一个函数与其图像通常是一一对应的,但二者并不可混淆。两个函数可能拥有相同的图像,却有不同的上域。例如,对于下文提到的三次多项式,当其上域为实数时函数即为满射,而若其上域为复数则不然。

通过垂线测试可以判断一条曲线是否为一个函数,而通过水平线测试可以判断函数是否为单射且是否存在反函数。如果反函数存在,则其图像可以通过将原函数图像以直线y=x为轴进行对称得到。

样例

单变量函数

一次函数

三个线性函数的图形都是直线。红色与蓝色直线的斜率相同。 红色与绿色直线的 y-截距相同。
三个线性函数的图形都是直线。红色与蓝色直线的斜率相同。 红色与绿色直线的 y-截距相同。

形如

的图像为:

平面直角坐标系中,该图像为一条直线。这是因为,该函数的导数为常数

非线性函数

函数 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            3
          
        
        −
        9
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}
  
 的图像。
函数 的图像。

对于二次或更高次的多项式函数,或者其他的非线性函数,其图像则会呈现为一条曲线。这是因为其导函数不是常数函数。

例如,三次函数

的图像为

如果将这个图像绘制在平面直角坐标系中,则会得到一条三次曲线(见右图)。

双变量函数

函数 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  f
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                  =
                  sin
                  ⁡
                  (
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  ×
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{smallmatrix}f(x,y)=\sin(x^{2})\times \cos(y^{2})\end{smallmatrix))}
  
 的图像。
函数 的图像。

三角学中的函数

的图像为

如果这个图像绘制在了三维坐标系中,则会得到一个曲面(见图)。

函数图像绘制工具

硬件

软件

参考文献

相关条目

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