分圆多项式

${\displaystyle n}$ 次分圆多项式，是指多项式 ${\displaystyle x^{n}-1}$ 分解因式结果中的一个特定多项式 ${\displaystyle f(x)}$，满足 ${\displaystyle f(x)=0}$ 的解都不是低于 ${\displaystyle n}$ 次的形如 ${\displaystyle x^{n}-1=0}$ 的方程的解。

n次的分圆多项式的根是 ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi k}{n}}}$（对所有满足 ${\displaystyle \gcd(k,n)=1}$ 的整数 ${\displaystyle k}$）。

例子

下表是几个次数较低的分圆多项式。

次数	对应的分圆多项式
1	${\displaystyle x-1}$
2	${\displaystyle x+1}$
3	${\displaystyle x^{2}+x+1}$
4	${\displaystyle x^{2}+1}$
5	${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$
6	${\displaystyle x^{2}-x+1}$
7	${\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$
8	${\displaystyle x^{4}+1}$
9	${\displaystyle x^{6}+x^{3}+1}$
10	${\displaystyle x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}$
11	${\displaystyle x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$
12	${\displaystyle x^{4}-x^{2}+1}$

性质

基础性质： 分圆多项式是整系数的不可约多项式，对于 ${\displaystyle x^{n}-1}$ 的分圆多项式 ${\displaystyle f(n)}$ ，有 ${\displaystyle f(n)}$ 的次数为 ${\displaystyle \varphi (n)}$，其中 ${\displaystyle \varphi (n)}$ 是欧拉函数。

计算： 对于n为质数的分圆多项式，我们有： ${\displaystyle f\left(x\right)=1+x+x^{2}+...+x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}}$