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分离公理

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某些分离公理的图示。蓝色区块代表一个开集,红色方块代表一个闭集,且黑色圆圈则代表一点。
某些分离公理的图示。蓝色区块代表一个开集,红色方块代表一个闭集,且黑色圆圈则代表一点。

拓扑学及相关的数学领域里,通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件,分离公理即是指之中的某些限制条件。这些分离公理有时候被叫做吉洪诺夫分离公理,得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫。部分分离公理以字母T开头,是由德文单词“Trennung”而来,意义是分离

分离公理之所以称为公理,是因为以前定义拓扑空间时,有些人会将其也做为公理来定义,而得出较现在意思狭义的拓扑空间。但在拓扑空间的公理化完成后,那些都成了“各种”的拓扑空间。然而,“分离公理”这一词就这样固定了下来。

初步定义

在定义分离公理之前,让我们先了解在拓扑空间中,可分离的集合(和点)的具体含意。(须注意的是,可分离的集合不一定等同于下一节所定义的“分离空间”。)

分离公理是利用拓扑的方法来分办不相交的集合及相区别的点。不只要拓扑空间内的元素是相区别的,更要这些元素是“拓扑可区别的”;不只要拓扑空间内的子集是不相交的,更要这些子集是(以某种方式)“可分离的”。分离公理声称,无论如何,若点或集合在某些较弱意思下是可区别的或可分离的,也必须在某些较强的意思下是可区别或可分离的。

为一拓扑空间,是实数集,定义:

拓扑可区分
称为拓扑可区分的,当且仅当邻域系不相等(即,存在某个的邻域,不是的邻域,或反之)。
可分离
称为可分离的,当且仅当都为空。(闭包)。注意:可以不为空。
邻域可分离
称为邻域可分离的,当且仅当存在的邻域的邻域,使得为空。
闭邻域可分离
称为闭邻域可分离的,当且仅当存在的闭邻域的闭邻域,使得为空。
函数可分离
称为函数可分离的,当且仅当存在连续函数,使得
函数完全分离
称为函数完全分离的,当且仅当存在连续函数,使得

对于中的点(或点和子集),称它们为拓扑可分,可分离,邻域可分离等等,当且仅当单元素集合(或和子集)是拓扑可分,可分离,邻域可分离等等。

以上这些条件是按强度依序给出的:任何两个拓扑可区分的点也必然是相区分的,任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更进一步地说,任何两个可分离的集合也必然是不相交的,任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的,以此类推。

上述条件更详细的叙述(包括分离公理外的用途),请参见分离集合拓扑不可区分性等条目。

主要定义

下面的定义都会直接使用到上面的初步定义。

大部分的分离公理都会有另一个等价的定义。下面所给出的定义会维持一致的模式,以和上一节所定义的许多分离的概念相连结。其他等价的定义则分别写在个别的条目之中。

在下面所有的定义之中,X是一个拓扑空间,所有的函数都假设为连续的。

  • X称为R0空间或“对称空间”,若在X内,任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。
  • X称为T1空间、“可及空间”或“弗雷歇空间”,若在X内,任意两个相区别的点都是可分离的。X为T1空间,当且仅当X同时为T0及R0空间。
  • X称为R1空间或“预正则空间”,若在X内,任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R1空间必然也是R0空间。
  • X称为T2空间或“豪斯多夫空间”,若在X内,任意两个相区别的点都是邻域上可分离的。X为豪斯多夫空间,当且仅当X同时为T0及R1空间。豪斯多夫空间必然也是T1空间。
  • X称为T空间或“乌雷松空间”,若在X内,任意两个相区别的点都是闭邻域上可分离的。T空间必然也是豪斯多夫空间。
  • X称为完全豪斯多夫空间或“完全T2空间”,若在X内,任意两个相区别的点都是函数上可分离的。完全豪斯多夫空间必然也是T空间。
  • X称为正则空间,若在X内,给定一点x及一闭集F,则若x不属于FxF即为邻域上可分离的(实际上,在一个正则空间里,xF也同样会是闭邻域上可分离的)。正则空间必然也是R1空间。
  • X称为正则豪斯多夫空间或“T3空间”,若X同时为T0及正则空间。正则豪斯多夫空间必然也是T空间。
  • X称为完全正则空间,若在X内,给定一点x及一闭集F,则若x不属于FxF即为函数上可分离的。完全正则空间必然也是正则空间。
  • X称为吉洪诺夫空间、“T空间”、“完全T3空间”或“完全正则豪斯多夫空间”,若X同时为T0及完全正则空间。吉洪诺夫空间必然同时也是正则豪斯多夫空间及完全豪斯多夫空间。
  • X称为正规空间,若在X内,任意两个相区别的闭子集都是邻域上可分离的(实际上,在正规空间里,任意两个相区别的闭子集也同样会是函数上可分离的;这称为乌雷松引理)。
  • X称为正规豪斯多夫空间或“T4空间”,若X同时为T1及正规空间。正规豪斯多夫空间必然同时也是吉洪诺夫空间及正规正则空间。
  • X称为完全正规空间,若在X内,任意两个相区别的子集都是邻域上可分离的。完全正规空间必然也是正规空间。
  • X称为完全正规豪斯多夫空间、“T5空间”或“完全T4空间”,若X同时为完全正规及T1空间。完全正规豪斯多夫空间必然也是正规豪斯多夫空间。
  • X称为完美正规空间,若在X内,任意两个相区别的闭子集都是函数上完全分离的。完美正规空间必然也是完全正规空间。
  • X称为完美正规豪斯多夫空间、“T6空间”或“完美T4空间”,若X同时为完美正规及T1空间。完美正规豪斯多夫空间必然也是完全正规豪斯多夫空间。

各空间之间的关系

T0空间很特别,因为它不只可以当做一个性质加在其他空间上(如完全正则空间加上T0即为吉洪诺夫空间),也可以由某个空间中删去此一性质(如豪斯多夫空间删去T0即为R1空间);更多资讯请见柯尔莫果洛夫商空间。当其应用在分离公理时,便会导致如下表所列的关系:

T0版本 无T0版本
T0
T1 R0
豪斯多夫(T2) R1
T 无给定名称
完全豪斯多夫 无给定名称
正则豪斯多夫(T3) 正则
吉洪诺夫(T) 完全正则
正规T0 正规
正规豪斯多夫(T4) 正规正则
完全正规T0 完全正规
完全正规豪斯多夫(T5) 完全正规正则
完美正规T0 完美正规
完美正规豪斯多夫(T6) 完美正规正则

在表中,利用柯尔莫果洛夫商空间运算,右边的空间加上T0即为左边的空间,左边的空间删去T0即为右边的空间。

除了T0的加上及删去之外,各空间之间的关系则可由下图指明出来:

在图中,无T0版本的空间在斜线的左边,T0版本的空间则在斜线的右边。之中的字母代表的意思: P为完美(perfectly)、C为完全(completely)、N为正规(normal)、R为正则(regular)。 黑点代表该空间没有给定名称。

结合两个空间的性质最后会产生的空间可由上图得知,只要看两点向上的分支会交会在哪一点即可。例如,若有一个空间同时为完全正规(CN)及完全豪斯多夫(CT2)空间,则查看两点向上的分支,会发觉为“•/T5”。因为完全豪斯多夫空间为斜边的T0端(即使完全正规空间不是),最后得到的空间便会在斜边的T0端。亦即,完全正规完全豪斯多夫空间即为T5空间。

再看一次上图,正规空间及R0空间结合在一起,由于会经过许多右侧的分支,也意指会产生许多两个空间所没有的其他性质。因为正则性是之中最为人知的性质,结合正规空间及R0空间而成的空间一般称为“正规正则空间”。基于类似的想法,正规T1空间通常称为“正规豪斯多夫空间”。上述的惯用名称可以延伸至其他正则空间与豪斯多夫空间之上。

参考文献

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分离公理
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