割圆术 (刘徽)
维基百科,自由的 encyclopedia
三国时代数学家刘徽的割圆术是中国古代数学中“一个十分精彩的算法[1]”。在此之前,圆周率采用“径一周三”的实验数据。东汉科学家张衡采用和。刘徽认为过大。[2]。东汉天文学家王蕃采用。这些圆周率都是实验值,都只准确到二位数字。刘徽是中国数学史上最先创造了一个从数学上计算圆周率到任意精确度的迭代程序的数学家。他自己通过分割圆为192边形,计算出圆周率在3.141024 与 3.142704之间,取其近似,并以 表示。这个数值准确到三位数字,比前人的圆周率数值都准,但他自己次承认这个数值偏小[3]。后来刘徽发明一种快捷算法,可以只用96边形得到和1536边形同等的精确度,从而得令他自己满意的。
刘徽割圆术简单而又严谨,富于程序性,可以继续分割下去,求得更精确的圆周率。南北朝时期著名数学家祖冲之用刘徽割圆术计算11次,分割圆为12288边形,得圆周率=3.1415926,成为此后千年世界上最准确的圆周率。
刘徽割圆术是建立在圆面积论的基础之上的。他首先论证,将圆分割成多边形,分割来越细,多边形的边数越多,多边形的面积就和圆面积没有差别了。他说,将6边形一边的长度乘以圆半径,再乘3,得12边形的面积。将12边形的一边长乘半径,再乘6,得24边形面积。越割越细,多边形和圆面积的差越小。如此割了再割,最后终于和圆合为一体,毫无差别了[4]。
- 6边形的面积显然和圆面积相差很多。
- 内接正12边形面积 = 6边形面积+6个蓝色三角形面积,向圆面积趋近了一步。
- 正24边形面积=6边形面积+6个蓝色三角形面积+12个黄色三角形面积,更加接近圆面积了。
- 显然:
- 正12边形面积 <正24边形面积< 正48边形面积<正96边形面积……<内接6*2N边形面积<圆面积。
刘徽明显已经掌握了无穷小分割和极限的概念:[5]
- 内接 6*2N边形面积 圆面积。
- 他又指出:6边形之外,遗留了半径的一小段d ,称为余径。将余径d乘多边形的一边,所得长方形ABCD,已经越出圆周范围之外。如果将圆周分割得很细,余径d趋向于0,而长方形ABCD的面积也趋向于0[6]。
显然,刘徽之所以研究余径,目的是从上限和下限两个方面逐步逼近圆面积:
- 内接 6*2N边形面积 圆面积 内接 6*2N边形面积+6*2N*d*L。
刘徽进一步证明圆面积=圆周/2 × 半径。
刘徽从半径1尺圆的内接正6边形开始,逐次分割为12边形,24边形,48边形,96边形。反复使用勾股定理求得各多边形的边长,又用刘氏多边形面积公式求多边形面积。
令圆直径为2尺,折半得半径1尺。圆内接正6边形的边长也是1尺。[8] 如图:
- 半径OA=r=1尺=10寸
- 6边形单边长AB=M=10寸
- 从圆心O作AB的垂直平分线OC,将AB平分为二,
- AP=BP=M/2,AP+BP=AB
- 垂直平分线OC和圆周相交于C,
- 作直线AC
- AC就是12边形的一边,
OAP是一个直角三角形
- 弦=半径=r=10寸
- 勾=AP=M/2=5寸
- 股OP 可用勾股定理求得:
- 令弦长=X,股长=G, 句长=M/2,则:
- 平方寸
- 因为1寸 =100000忽
- 1平方寸 =10000000000平方忽
- 忽[9]
APC是一个小直角三角形
令小弦AC长度为m,令小句PC长度为j
- 忽
- 用勾股定理求m:
- =平方忽
- 12边形的一边长度忽
- 12边形的一边长度的一半忽
将上一轮的多边形边长m作为新一轮割圆的开始, 作替换M=m=12边形的一边长度忽 继续将此多边形的一边平分,周而复始,重复使用[10]:
- 由上M^2已有现成数值
-
- 24边形一边长度
将第二轮的多边形边长m作为第三轮割圆的起点[11], 作替换
- 开平方,得48边形一面忽
根据刘徽多边形面积公式:
- 96边形的面积= 48边形的半周长×半径=,
所以96边形的面积
- 平方忽
- 平方寸
将第三轮的多边形边长m作为第四轮割圆的起点[12]
作替换忽
- 开方得
- 96边形的一边忽
根据刘徽多边形面积公式:
- 192边形的面积96边形的半周长×半径=
所以192边形的面积 平方忽
- 平方忽
- 平方寸
刘徽利用多边形面积差的几何学,得出圆周率的双边不等式。
- 如图:
- 黄色代表N边形面积
- 黄色+绿色代表2N边形面积
- 绿色代表2N边形面积与N边形面积之差=
- 长方形ABCD面积
- C代表圆面积。
- 如下不等式成立:
或
当N=96,2N=192:
- 192边形面积
- 96边形的面积
- 192边形面积和96边形的面积之差(差幂)
- 即
刘徽认为这个面积已经超过圆面积,所以将192边形的面积的整数部分定为圆面积:
- 圆面积~192边形面积=
- 所以圆周率=圆面积/半径2
这就是徽率。
实际上只要计算精确度够高,刘徽割圆术可以计算到任何精确度,不仅限于二位小数点。
刘徽在得圆周率=3.14之后,将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验,发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形,求出3072边形的面积,得到令自己满意的圆周率。但是刘徽却不叙述“分割96边形为192边形”,“分割192边形为384边形”,“分割384边形为768边形”,“分割768边形为1536边形”:因为他发现了一个快捷的算法[13],只要利用96边形的数据经过一次除法和一次加法,就可以获得和计算到1536边形同等的精确度 ,省去了4次开方计算;毕竟在三国时代用筹算进行开方相当的繁难。
刘徽圆周率捷法乃是以他素有研究的多边形面积差为基础的。
- 令表示2N边形的面积和N边形的面积差
- ,,,形成一个等比级数:
- 因此
其中
刘徽圆周率捷法,可以解释如下几个问题:[来源请求]
- 1)为什么刘徽割圆术以多边形面积为基础,因为圆周率捷法必须用到多边形面积差。
- 2)刘徽对割圆术的陈述为什么止于96边形。因为他发明了一个便捷的方法,只用96边形数据,就可以算出相当于1536边形(甚至12288边形)的精确度。
- 3)晋武库一段的作者,非刘徽莫属,而不可能出自祖冲之。面积差法本来就是他推求不等式 的基础。从 到一脉相承。何况九章算术中全无“祖冲之注”的痕迹,而且一字不提祖冲之密率。
刘徽的 = 后来见于印度数学中,足证古印度数学采用刘徽注《九章算术》[14]