加托导数 - Wikiwand
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加托导数

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数学上,加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒内·加托命名,他是一位法国数学家,年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上,可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念,常见于变分法物理学,特别是量子场论。和其他形式的导数不同,加托导数是非线性的。

定义

假设 是局部凸拓扑向量空间,(例如巴拿赫空间), 是开集合(open set),且 在点 沿着 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) 定义为

如果极限存在。固定 对于所有 都存在,则称 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 是加托可微,称 为在 的加托导数。

是在 连续可微的

连续的。

属性

若加托导数存在,则其为唯一。

对于每个,加托导数是一个算子。 该算子是齐次的,使得

,但是它通常不是可加的,并且,因此而不总是线性的,不像Fréchet导数。

例子

为一个在欧几里得空间 勒贝格可测集 上的平方可积函数希尔伯特空间,也就是说 是勒贝格可测集 。泛函

给出,其中 是一个定义在实数上的可微值函数且 为定义在 的实数值函数,则加托导数为

这符号代表 .

更详细的说:

(并假设所有积分有定义),得到加托导数

也就是,内积

参看

  • 导数 (推广)

参考

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加托导数
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