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动力系统

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洛伦茨吸引子的动态系统
洛伦茨吸引子的动态系统

动力系统(dynamical system)是数学上的一个概念。动力系统是一种固定的规则,它描述一个给定空间(如某个物理系统的状态空间)中所有点随时间的变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动,或者湖中每年春季鱼类的数量,凡此等等的数学模型都是动力系统。

在动力系统中有所谓状态的概念,状态是一组可以被确定下来的实数。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数固定规律,它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的,即对于给定的时间间隔内,从现在的状态只能演化出一个未来的状态。

若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态,则这个动力系统为离散动力系统;若时间连续,就得到一个连续动力系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间,我们就称它为一个光滑动力系统

历史

许多人视法国数学家及物理学家庞加莱为动力系统的创始者[1]。他发行了两份现在被誉为经典的专著:天体力学的新方法《天体力学的新方法》(New Methods of Celestial Mechanics,1892–1899)、《天体力学讲义》(Lectures on Celestial Mechanics,1905–1910)。专著中,他成功将研究结果应用在三体问题,并详细研究其状态(频率,稳定性等)。作品中也包含庞加莱复现定理(Poincaré recurrence theorem),该定理指出某些系统在经过足够长但有限的时间之后,将返回到非常接近初始状态的状态。

俄罗斯数学家李亚普诺夫发展许多重要的近似方法。他在1899年发展出的方法,使得定义常微分方程组的稳定性是可行的。 他也创造了动力系统稳定性的现代理论。

美国数学家伯克霍夫在1913年证明了庞加莱的最终几何定理(Last Geometric Theorem),一个三体问题的特殊形况。在1927年,他则发行了《动力系统》(Dynamical Systems)。在1931年,伯克霍夫发现了最使他名留青史的结果,现在称作遍历定理。

美国数学家斯梅尔也对动力系统作出重大贡献。他的贡献马蹄映射推动了动力系统重要研究,此外他还勾划出研究计划,让很多研究者实行。

乌克兰数学家亚历山大·沙可夫斯基英语Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky在1964年给出关于离散动力系统的沙可夫斯基定理英语Sharkovsky's theorem,此定理的一个含义是,如果实数轴上的离散动力系统具有周期为3的周期点,那么它必定具有任意周期的周期点。

注释

  1. ^ Holmes, Philip. "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"." Physics Reports 193.3 (1990): 137-163.

参考书籍

延伸阅读

Works providing a broad coverage:

  • Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden. Foundations of mechanics. Benjamin–Cummings. 1978. ISBN 0-8053-0102-X.  (available as a reprint: ISBN 0-201-40840-6)
  • Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
  • Christian Bonatti; Lorenzo J. Díaz; Marcelo Viana. Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective. Springer. 2005. ISBN 3-540-22066-6. 
  • Stephen Smale. Differentiable dynamical systems. Bulletin of the American Mathematical Society. 1967, 73 (6): 747–817. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11798-1. 

Introductory texts with a unique perspective:

  • V. I. Arnold. Mathematical methods of classical mechanics. Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-96890-3. 
  • Jacob Palis and Welington de Melo. Geometric theory of dynamical systems: an introduction. Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-90668-1. 
  • David Ruelle. Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory. Academic Press. 1989. ISBN 0-12-601710-7. 
  • Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, eds.. Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces. Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853390-X. 
  • Ralph H. Abraham and Christopher D. Shaw. Dynamics—the geometry of behavior, 2nd edition. Addison-Wesley. 1992. ISBN 0-201-56716-4. 

Textbooks

Popularizations:

参见

外部链接

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