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化圆为方

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尺规作图三大难题
三等分角
化圆为方
倍立方
化圆为方:求一正方形,其面积和一已知圆的面积相同。
化圆为方:求一正方形,其面积和一已知圆的面积相同。

化圆为方古希腊数学里尺规作图领域当中的命题,和三等分角倍立方问题被并列为尺规作图三大难题。其问题为:求一正方形,其面积等于一给定的面积。如果尺规能够化圆为方,那么必然能够从单位长度出发,用尺规作出长度为的线段。

进入十九世纪后,随着群论和域论的发展,数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件,满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年,数学家林德曼证明了超越数,因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。

如果放宽尺规作图的限制或允许使用其他工具,化圆为方的问题是可行的。如借助西皮阿斯的割圆曲线英语quadratrix阿基米德螺线等。

背景简介

尺规作图法

在叙述化圆为方问题前,首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题,将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定,研究的是能不能在若干个具体限制之下,在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中,直尺和圆规的定义是[1]

直尺:一侧为无穷长的直线,没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规:由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下,将两个端点同时移动,或者只固定其中一个端点,让另一个端点移动,作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离,或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性后,所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤,称为作图公法[1]

  • 通过两个已知点,作一直线。
  • 已知圆心和半径,作一个圆。
  • 若两已知直线相交,确定其交点。
  • 若已知直线和一已知圆相交,确定其交点。
  • 若两已知圆相交,确定其交点。

尺规作图研究的,就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复,达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是:“给定某某条件,能否用尺规作出某某对象?”比如:“给定一个圆,能否用尺规作出这个圆的圆心?”,等等。[1]

问题叙述

化圆为方问题的完整叙述是:

如果将圆的半径定为单位长度,则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度倍的线段。[2]

不可能性的证明

圆周率的超越性

化圆为方问题是指已知单位长度1,要作出的长度。这等价于从1开始作出。然而,能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说,存在有理系数的多项式m,使得

然而,1882年,林德曼等人证明了对于圆周率来说,这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数,而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数,而不是,这说明用尺规作图是无法化圆为方的。[1]

林德曼证明的超越性用到了现在称为林德曼-魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼-魏尔斯特拉斯定理说明,如果若干个代数数在有理数域上线性独立,那么也在上线性独立。反设是代数数,那么也是代数数。考虑代数数0和,由于是无理数,所以它们在上线性独立。然而分别是1和-1,并非在上线性独立,矛盾。这说明不是代数数,而是超越数。[2]

参考来源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原载于科学月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28].  外部链接存在于|publisher= (帮助)
  2. ^ 2.0 2.1 康明昌. 《古希腊几何三大问题》. 原载于数学传播第八卷第二期、第八卷第三期分两期刊出. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-29].  外部链接存在于|publisher= (帮助)

另见

外部链接

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