单环
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在环论中,若某非无零因子环除了零理想(英语:Zero ideal)及其本身两个理想外没有其他双边理想,则称该环为单环。特别地,交换环是单环当且仅当它是一个域。
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单环的中心必是一个域,所以单环是该域上的一个结合代数。因此,单代数和单环是相同的概念。
此外,一些参考文献(例如Lang(2002)或Bourbaki(2012))还要求该环是左阿廷环或右阿廷环(即半单环)。在这种术语下,没有非平凡双边理想的非无零因子环被称为准单环(quasi-simple)。
存在在自身上不是单模的单环,即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想:例如域上的全矩阵环,它没有非平凡理想(因为的任何理想都具有的形式,其中是的理想),但却有非平凡的左理想(例如,某些固定列为零的矩阵组成的集合)。
根据阿廷-韦德伯恩定理,所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地,如果一个单环是实数域上的有限维度向量空间,则它必然与实数域、复数域或四元数域上的矩阵环同构。
单环,但非除环上的矩阵环的一个例子是外尔代数(英语:Weyl algebra)。