博赫纳积分 - Wikiwand
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博赫纳积分

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数学中,以萨洛蒙·博赫纳命名的博赫纳积分(英语:Bochner integral)作为简单函数积分的极限,将勒贝格积分的定义推广到在巴拿赫空间中取值的函数。

定义

令(X, Σ, μ)为测度空间B为巴拿赫空间。博赫纳积分以与勒贝格积分相同的方式定义。首先,简单函数是任意如下形式的有限和

其中Eiσ-代数Σ的不相交元素,biB的不同元素,而χEE指示函数。如果μ(Ei)每当bi ≠ 0时有限,则简单函数是可积的,积分如下定义

与普通勒贝格积分完全相同。

可测量函数ƒ:XB博赫纳可积的,如果存在一列可积的简单函数sn满足

其中左边的积分是普通勒贝格积分。

在这种情形下,博赫纳积分定义为

可以证明,函数是博赫纳可积的当且仅当它位于博赫纳空间 

参见

参考文献

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