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卡塔兰猜想

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卡塔兰猜想也称为米哈伊列斯库定理,是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰在1844年提出的数论猜想,已在2002年4月由帕德博恩大学罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库英语Preda Mihăilescu证明了这猜想,因此也称为米哈伊列斯库定理,证明大幅使用了分圆域伽罗华模英语Galois module。。

此定理断言除了,没有两个连续整数都是正整数(即次方数);以数学方式表述为:不定方程的大于1的正整数只有唯一解

历史

在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题。

  • 1320年左右,莱维·本·热尔松英语Levi ben Gerson(1288年—1344年)证明2和3的幂之间只有8和9相差是1。
  • 莱昂哈德·欧拉证明,x2 - y3 = 1只有一解:x = 3,y = 2。
  • 勒贝格证明了方程xa - y2 = 1,a > 1 没有正整数解。
  • 1965年柯召证明方程x2 - yb = 1,b > 1 只有一个解。

于是卡塔兰猜想只余下为奇素数的情况。

  • 1976年罗贝特·泰德曼(Robert Tijdeman)证明卡塔兰猜想的方程只有有限个解。雷·斯坦纳(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奥特(Maurice Mignotte)也对这猜想作出贡献。
  • 皮莱猜想(Pillai's conjecture):把卡塔兰猜想一般化,推测正整数的幂之间的差趋向无限大;换句话说,对任何正整数,仅有限多对正整数的幂的差是这个数。这猜想现在仍未解决。若abc猜想成立,则皮莱猜想也成立。

参阅

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卡塔兰猜想
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