叉积
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在数学和向量代数领域,外积(英语:external product)又称叉积(cross product)、叉乘、向量积(vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,使用符号 。与点积不同,它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 和 ,它们的外积写作 ,是 和 所在平面的法线向量,与 和 都垂直。外积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。
线性代数 | ||||||
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如果两个向量方向相同或相反(即它们没有线性无关的分量),亦或任意一个的长度为零,那么它们的外积为零。推广开来,外积的模长和以这两个向量为边的平行四边形的面积相等;如果两个向量成直角,它们外积的模长即为两者长度的乘积。
外积和点积一样依赖于欧几里德空间的度量,但与点积之不同的是,外积还依赖于定向或右手定则。
叉积的名称源自表示叉积运算的叉乘号(),读作a cross b
,向量积的叫法则是在强调其运算结果为向量而非标量。向量的另一种乘法是点积(),读作a dot b
,其结果为标量,称为点积或数量积或标量积。
两个向量 和 的外积仅在三维空间中有定义,写作 。在物理学中,外积有时也被写成,但在数学中 是外代数中的外积。
外积 是与 和 都垂直的向量 。其方向由右手定则决定,模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。
外积可以定义为:
其中 表示 和 在它们所定义的平面上的夹角()。 和 是向量 和 的模长,而 则是一个与 、 所构成的平面垂直的单位向量,方向由右手定则决定。根据上述公式,当 与 平行(即 为 0° 或 180°)时,它们的外积为零向量 。
按照惯例,向量 的方向由右手定则决定:将右手食指指向 的方向、中指指向 的方向,则此时拇指的方向即为 的方向。使用这一定则意味着外积满足反交换律,:将右手食指指向 、中指指向 ,那么拇指就必定指向相反方向,即翻转了外积的符号。
由此可以看出,使用外积需要考虑坐标系的利手性(英语:Handedness),如果使用的是左手坐标系,向量 的方向需要使用左手定则决定,与右手坐标系中的方向相反。
这样就会带来一个问题:参照系的变换不应该影响 的方向(例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换)。因此,两个向量的外积并不是(真)向量,而是赝向量。
右手坐标系中,基向量 、、 满足以下等式:
根据反交换律可以得出:
根据外积的定义可以得出:
- (零向量)。
根据以上等式,结合外积的分配律和线性关系,就可以确定任意向量的外积。
向量 和 可以定义为平行于基向量的三个正交元素之和:
两者的外积 可以根据分配律展开:
即把 分解为九个仅涉及 、、 的简单外积之和。九个外积各自所涉及的向量,要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中,然后合并同类项,可以得到:
即结果向量 的三个标量元素为:
也可以记作列向量的形式:
外积可以表达为这样的行列式:
这个行列式可以使用萨吕法则或拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为:
都可以直接得到结果向量。