双曲函数 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 双曲函数.

双曲函数

维基百科,自由的百科全书

射线出原点交单位双曲线
  
    
      
        
          
            x
            
              2
            
          
           
          −
           
          
            y
            
              2
            
          
           
          =
           
          1
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}
  
于点
  
    
      
        
          (
          cosh
          
          a
          ,
          
          sinh
          
          a
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}
  
,这里的
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle a}
  
是射线、双曲线和
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle x}
  
轴围成的面积的二倍。对于双曲线上位于x轴下方的点,这个面积被认为是负值。
射线出原点交单位双曲线于点,这里的是射线、双曲线和轴围成的面积的二倍。对于双曲线上位于x轴下方的点,这个面积被认为是负值。

数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数(也叫圆函数)类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 双曲余弦函数 ,从它们可以导出双曲正切函数 等,其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数

双曲函数的定义域是实数,其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中,譬如说定义悬链线拉普拉斯方程

基本定义

sinh, cosh和tanh
sinh, coshtanh
csch, sech和coth
csch, sechcoth

函数是关于y轴对称的偶函数。函数奇函数

如同当遍历实数集时,点(, )的轨迹是一个一样,当遍历实数集时,点(, )的轨迹是单位双曲线英语Unit hyperbola的右半边。这是因为有以下的恒等式:

参数t不是圆而是双曲角,它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点(, )的直线之间的面积的两倍。

历史

在直角双曲线(方程y = 1/x)下,双曲线三角形(黄色),和对应于双曲角u的双曲线扇形(红色)。这个三角形的边分别是双曲函数中cosh和sinh的√2倍。
在直角双曲线(方程y = 1/x)下,双曲线三角形(黄色),和对应于双曲角u双曲线扇形(红色)。这个三角形的边分别是双曲函数中cosh和sinh的√2倍。

在18世纪,约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数[1],并计算了双曲几何中双曲三角形的面积[2]自然对数函数是在直角双曲线下定义的,可构造双曲线直角三角形,底边在线上,一个顶点是原点,另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数,是自然对数的逆函数指数函数,即要形成指定双曲角u,在渐近线即x或y轴上需要有的x或y的值。显见这里的底边是,垂线是

通过旋转和缩小线性变换,得到单位双曲线下的情况,有:

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线下双曲角的 1/2。

虚数圆角定义

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上,如果x是实数而i2 = −1,则

所以双曲函数cosh和sinh可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的,它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是,可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成,前者形成cosh函数,后者形成了sinh函数。cos函数的无穷级数可从cosh得出,通过把它变为交错级数,而sin函数可来自将sinh变为交错级数。上面的恒等式使用虚数i,从三角函数的级数的项中去掉交错因子(−1)n,来恢复为指数函数的那两部分级数。

双曲函数可以通过虚数圆角定义为:

这些复数形式的定义得出自欧拉公式

与三角函数的类比

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线[3]威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线

给定相同的角α,在双曲线上计算双曲角的量值(双曲扇形面积除以半径)得到双曲函数,角α得到三角函数。在单位圆单位双曲线上,双曲函数与三角函数有如下的关系:

恒等式

与双曲函数有关的恒等式如下:

  • 加法公式:
  • 二倍角公式:
  • 半角公式:

由于双曲函数和三角函数之间的对应关系,双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式,只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数,并将含有有两个sinh的积的项(包括)转换正负号,就可得到相应的双曲函数恒等式[4]。如

  • 三倍角公式:
三角函数的三倍角公式为:
而对应的双曲函数三倍角公式则是:
  • 差角公式:
三角函数的差角公式为:
而对应的双曲函数的差角公式则是:

双曲函数的导数

双曲函数的泰勒展开式

双曲函数也可以以泰勒级数展开:

罗朗级数
罗朗级数

其中

是第n项伯努利数
是第n项欧拉数

双曲函数的积分

与指数函数的关系

从双曲正弦和余弦的定义,可以得出如下恒等式:

复数的双曲函数

因为指数函数可以定义为任何复数参数,也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数sinh z和cosh z全纯函数

指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出:

所以:

因此,双曲函数是关于虚部有周期的,周期为 (对双曲正切和余切是).

反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为:

参考文献

  1. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions. 
  2. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006, ISBN 9780387331973, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786. 
  3. ^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"
  4. ^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902

参见

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
双曲函数
Listen to this article