可分多项式
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数学中,可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。
最常见的一个定义是:当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时,称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数[1]。在多项式因式分解的观点下,这样的多项式是无平方多项式。
第二个定义,当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同,此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的[2]。在这个定义中,可分性依赖于K,比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下,每个完美域上的多项式是可分的,这包含了0特征域和所有有限域。
两个定义对于K上不可约多项式是等价的,这个被用来定义域K的可分扩张。
在条目的余下部分我们只用第一个定义。
一个多项式可分当且仅当它与它的形式导数P'(X)互素。