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可数集

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在数学上,可数集,或称可列集,是与自然数集的某个子集具有相同基数等势)的集合。在这个意义下,可数集由有限可数集可数无穷集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素,正如其名,是“可以计数”的:尽管计数有可能永远无法终止,集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。

“可数集”这个术语有时也指代可数无穷集,即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合[1]。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集,而在后者中不算作可数集。

为了避免歧义,前一种意义上的可数有时称为至多可数[2],后一种可数集则称为无限可数集[3]

定义

如果存在从自然数集合存在单射函数,则称为可数集。[4]

如果还是满射,则同样是双射,则称无限可数集

换句话说,一个集合要想是无限可数集,它要和自然数集一一对应关系。

如上所述,这个术语不普遍:一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”,并没有包括有限集。

介绍

由定义易知所有偶数所构成的集合为可列的,因为我们可以将所有的都对应到,如此就完成了一一对应。类似地,不难证明所有整数构成的集合、所有有理数构成的集合、甚至所有代数数构成的集合都是可列的。

并非所有的无穷集都可数。乔治·康托首先指出存在有不可列的无穷集合。他利用他发明的对角论证法证明了由所有实数构成的集合是不可列的,即之间不可能存在一种一一对应。这同时也表示实数当中存在有一些数不是代数数,因为刚才已经说过代数数是可列的;于是这就给出了一种超越数存在的非构造性证明

正规定义和性质

由定义,如果存在从自然数集合存在单射函数,则称为可数集。

这似乎自然地把集合划分为不同类别:把所有包含一个元素的集合放在一起;包含两个元素的集合在一起......最后,把所有无限集合放在一起,并认为它们具有相同的大小。然而,在大小的自然定义下,这种观点是不确切的。

为了阐述这一点,我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深,但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念:

由于的每个元素都可以和准确的一个配对,并且反过来也同样,这就定义了一个双射。

我们将这个情境一般化,定义当且仅当它们之间存在双射,两个集合的大小相同。对于有限集,这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢?

考虑集合(正整数集),和(正偶数集)。我们说,在我们的定义下,这些集合有相同的大小,并且因此B是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的,运用,那么

正如前面的例子,的每个元素都已和准确的一个配对,并且反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子,这种情形在有限集中是不可能的。

同样,自然数的有序对的集合是无限可数集,可以沿着图中的一种路径:

康拖尔配对函数给每一对自然数分配了一个自然数
康拖尔配对函数给每一对自然数分配了一个自然数

配对结果就像这样:

显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。

自然数集合的笛卡尔积 是可数的,这是因为可以定义一个从自然数集合的笛卡尔积 到自然数集合单射函数之故;而利用数学归纳法,可知在n是个有限的自然数时,自然数集合的n-元笛卡尔积 是可数的。另外,可数无限多个可数集的联集是可数的,这是因为可以定义一个单射函数,将可数无限多个可数集的联集给映至自然数集合的笛卡尔积 之故。

不过可数无限多个自然数集合的笛卡尔积不是可数的,这可以透过康托的对角论证法证明。

参见

注解

  1. ^ 例子参见(Rudin 1976,Chapter 2)
  2. ^ 参见(Lang 1993,§2 of Chapter I).
  3. ^ 参见(Apostol 1969,Chapter 13.19).
  4. ^ 因为显然NN* = {1, 2, 3, ...}之间显然存在双射,无所谓是否把0算作自然数。在任何情况,这篇文章都遵循ISO 31-11和数学逻辑中的标准传统,将0作为自然数。

参考资料

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