合成列 - Wikiwand
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合成列

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抽象代数中。合成列是借着将代数对象(如等等)拆解为简单的成分,以萃取不变量的方式之一。以模为例,一般上的模未必能表成单模的直和。但是我们可退而求其次,考虑一组过滤 ,使每个子商 皆为单模;这些单模称为合成因子 称为合成长度,都是 的不变量。亦可考虑 的子模范畴 ,此时 可唯一表为合成因子之和;在此意义下,K-群提供了模的半单化

合成列未必存在,即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理断言:若一对象有合成列,则子商的同构类是唯一确定的,至多差一个排列。因此,合成列给出有限群阿廷模的不变量。

群的情形

为群, 的合成列是对应于一族子群

满足 ,使其子商 皆为非平凡的单群;易言之, 的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群,恒存在合成列。

模的情形

固定环 -模 合成列是一族子模

其中每个子商 皆为非平凡的单模 。易言之, 的极大子模。这些子商也称为合成因子。若 阿廷环,根据 Hopkins-Levitzki 定理,任何有限生成-模皆有合成列。

例子

例子. 考虑 12 阶循环群 ,它具有三个相异的合成列

,
,

合成因子分别为

其间仅差个排列。

若尔当-赫尔德定理

定理. 若群 〔或 -模 〕有合成列,则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关,其间至多差一个排列

略证:以下仅处理模的情形,群的情形可依此类推。假设存在两个合成列

数学归纳法。若 ,若 单模。以下假定

,据归纳法假设,)之间仅差排列。此外 ,故定理成立。

。此时必有 。置 ,于是

的合成列 ,依上式知

皆为合成列,其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设,若同删去尾项 ,则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列 的合成因子,至多差个排列。是故定理得证。

参见

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