同构基本定理 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 同构基本定理.

同构基本定理

维基百科,自由的百科全书

此条目没有列出任何参考或来源。 (2012年2月28日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助添加来自可靠来源的引用以改善这篇条目。无法查证的内容可能被提出异议而移除。

同构基本定理或称同态基本定理,包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史

同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同态基本定理

我们首先叙述群论中的同态基本定理,他们的形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同构基本定理

群同构第一定理

给定一个群同态 ,根据群同态第一基本定理,我们可以把除以,使 变成单射

直观来讲,把一个群除以子群相当于把里的元素看成0。把的核除掉后,我们使得只在 时才会成立,这是的单射性的等价叙述。

我们必须先确定商群具有群的结构,才可以对进行讨论。


定理: 给定两个群,和群同态。则是一个正规子群


证明: 记 的运算符号,记他们的单位元,我们可以验证 在共轭运算下封闭,即对于所有、所有,有

我们有。由于里面,即,我们推论。因此,里面,故的正规子群。


的正规子群的这个性质让我们可以在商群上定义一个与的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故,群同态诱导出群同构

我们有以下的定理:

群同构第一定理 给定两个群,群同态,则诱导出一个从打到的群同构。


证明: 记的核。我们定义.

  • 函数定义良好,即只依赖于而与代表的选择无关。理由是,若的一个代表,即若,则,所以,从而
  • 由商群运算的定义,是一个群同态。
  • 群同态满射:对于所有,存在使得,由此
  • 群同态单射。理由是:考虑的核里的任意元素,则,即的核里面。又的单位元。

这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合,以下为示意图

交换图
交换图

群同构第二定理

群同构第二定理: 给定群 、其正规子群 、其子群 ,则 的正规子群,且我们有群同构如下:

证明:

  • 必须先证明确实是一个群,以及限定在 中亦是一个正规子群,才能讨论商群

中的两个元素。我们有 ,其中 , (因为 中正规) 且 ,故 中,其证明了 在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及逆元的封闭性。

此外,我们有 的包含关系,并且 中正规,所以也在 中正规。

  • 为了建构群同构,我们将使用群同构第一定理。

单射群同态,定义为 ,取标准满射 (值域是个群,因为 中正规)。借由复合两个群同态,我们建构出一个新的群同态 定义为

  • 群同态 是满射。

理由是,设 ,其中 。由于 里面, ,故

  • 的核是

理由是, 的单位元,即 当且仅当, 里面。由于 已经在 里面,所以证明这个相当于证明 里面。

  • 由群同构第一定理知 的正规子群,且其诱导出的映射 是群同构。


如果我们弱化前提,假设 正规化子包含 (把相等改成包含)这个定理依然正确。

群同构第三定理

群同构第三定理: 给定群 的正规子群,满足 包含于 ,则 的正规子群,且有如下的群同构:

证明: 为满射,其核为

所以可由群同构第一定理得到

环和模上的形式

  • 将定理中的“群”换为“R-模”,将“正规子群”换为“子模”,就得到对于确定的环R上的的同构基本定理,(因此同构基本定理对于确定的上的向量空间也成立)对于向量空间,同构第一基本定理即是秩-零化度定理
  • 将定理中的“群”换为“环”,“子群”换为“子环”,“正规子群”换为“理想”,“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
  • 与子群的乘积HK相对应的定义是子模,子环,子空间的并,用H + K而不再用HK表示。具体的定义是:

推广

在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

A是一个代数结构,A的一个同余类A上的一个等价关系,可看作是A × A上的子代数。等价类A/的集合在定义了适合的运算法则后,便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理

AB是两个代数结构,fAB态射,则A等价关系a~b当且仅当f(a)=f(b)A上的一个同余类,并且A/同构于f的像(B的子代数)。

第二同构定理

BA的子代数,A上的同余类。令[B]是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/的一个子集;限制在 B × B上的部分。那么[B]A/的子代数结构,B上的同余类,并且[B]同构于B/

第三同构定理

A是一个代数结构,A上的两个同余关系,包含于。则定义了A/上的一个同余类[a]~[b]当且仅当ab关于 同余([a]表示a所在的-等价类),并且A/同构于(A/)/

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
同构基本定理
Listen to this article