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吸引子

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吸引子Attractor)是微积分系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势,这个稳态就叫做吸引子。

吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子(Strange Attractor)。例如一个钟摆系统,它有一个平庸吸引子,这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。平庸吸引子有不动点(平衡)、极限环(周期运动)和整数维环面(概周期运动)三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子,它表现了混沌系统中非周期性,无序的系统状态,例如天气系统。

对于吸引子,学术上并没有完善的定义,目前仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于混沌系统的研究意义重大。

定义

代表时间、是用来确定动态系统状态的函数。也就是说,如果相空间的一个点,代表系统的初始状态,则且对每个正实数代表经过单位时间后的状态。举例来说,如果一系统描述一维上某不受力粒子的演进,此时相空间是平面,其坐标中的是粒子的位置是粒子的速度。那么就有

吸子相空间中的子集,并有以下几个特征:

  • 下不随时间变化,从而如果就有对所有正实数
  • 存在邻域(英文是basin of attraction),使得该域中任何点在时间趋于无限时都会趋近,或者更精准的是满足以下叙述:
对任何的邻域,存在正实数使得对所有
  • 不存在非空子集可以取代满足前面两点性质。

吸子还有许多其它种的定义,例如有些作者要求吸子有正的测度(以避免吸子中只有一个点),但其他作者只要求是邻域[1]

种类

吸子是动态系统相空间子集。在公元1960年代前,吸子仍被认为有“简单的”几何形状,例如点、直线、平面等。但吸子的形状事实上可能相当复杂, 斯梅尔证明其马蹄映射的吸子有康托尔集的结构。

两种简单的吸子是不动点和极限环。也有的吸子无法使用基本的几何物件的组合来描述,那么他就被称作奇异吸子。

不动点

有限个点

极限环

极限环面

奇异吸子

洛伦茨奇异吸子的图,其中用到参数ρ=28, σ = 10, β = 8/3。
洛伦茨奇异吸子的图,其中用到参数ρ=28, σ = 10, β = 8/3。

一个吸子被称为奇异strange)如果他具有分形结构[2],这常常出现在动态系统混乱的时,但奇异非混乱吸子也是存在的。

若一奇异吸子是混沌的,则其对初始条件敏感。也就是任意两个极为接近的初始点,在一定数量的迭代运算后,两者可以相距甚远;也可以再经过一定数量的迭代运算后又变得极为靠近。也因此,一个具有混沌吸子的动态系统在局域是不稳定的,然而广域来看却可以是稳定的,因为这些动态点再怎么彼此分离,也都不会离开吸子。

奇异吸子这个词最早是由吕埃勒Floris Takens英语Floris Takens所命名,用以描述流体系统经一连串分岔所产生的吸子结果。[3]

奇异吸子在一些方向上常是可微的,但一些例子则如同康托尘则不可微。奇异吸子亦可出现在有噪声的场合。[4]

奇异吸子的例子包括多卷波混沌吸引子艾侬吸子热斯勒吸子,以及洛伦茨吸子

参考资料

  1. ^ Milnor, J. (1985). "On the Concept of Attractor." Comm. Math. Phys 99: 177–195.
  2. ^ Boeing, G. Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction. Systems. 2016, 4 (4): 37 [2016-12-02]. arXiv:1608.04416. doi:10.3390/systems4040037. (原始内容存档于2016-12-03). 
  3. ^ Ruelle, David; Takens, Floris. On the nature of turbulence. Communications in Mathematical Physics. 1971, 20 (3): 167–192 [2019-07-22]. doi:10.1007/bf01646553. (原始内容存档于2015-06-23). 
  4. ^ Chekroun M. D., Simonnet E., and Ghil M. Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures. Physica D. 2011, 240 (21): 1685–1700. doi:10.1016/j.physd.2011.06.005. 
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