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品质因子

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一阻尼谐振子的带宽, 
  
    
      
        Δ
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta f}
  
可以用频率和能量的图来表示。阻尼谐振子(或滤波器)的Q因子为
  
    
      
        
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        Δ
        f
      
    
    {\displaystyle f_{0}/\Delta f}
  
。Q因子越大,其波峰高度会越高,而其宽度会越窄
一阻尼谐振子的带宽, 可以用频率和能量的图来表示。阻尼谐振子(或滤波器)的Q因子为。Q因子越大,其波峰高度会越高,而其宽度会越窄

品质因子Q因子物理工程中的无量纲参数,是表示振子阻尼性质的物理量[1],也可表示振子的共振频率相对于带宽的大小[2], 高Q因子表示振子能量损失的速率较慢,振动可持续较长的时间,例如一个单摆在空气中运动,其Q因子较高,而在油中运动的单摆Q因子较低。高Q因子的振子一般其阻尼也较小。

说明

Q因子较高的振子在共振时,在共振频率附近的振幅较大,但会产生的共振的频率范围比较小,此频率范围可以称为带宽。例如一台无线电接收器内的调谐电路Q因子较高,要调整接收器对准一特定频率会比较困难,但其选择性英语selectivity (electronic)较好,在过滤频谱上邻近电台的信号上也有较佳的效果。Q因子较高的振子会产生共振的频率范围较小,也比较稳定。

系统的Q因子可能会随着应用场合及需求的不同而有大幅的差异。强调阻尼特性的系统(例如防止门突然关闭的阻尼器)其Q因子为12,而时钟、激光或是其他需要强烈共振或是要求频率稳定性的系统其Q因子也较高。音叉的Q因子大约为1000,原子钟、加速器中的超导射频英语Superconducting Radio Frequency或是光学共振腔的Q因子可以到1011[3]甚至更高[4]

Q因子的概念是来自电子工程中,评量一调谐电路或其他振子的“品质”。

定义

Q因子可定义为在一系统的共振频率下,当信号振幅不随时间变化时,系统储存能量和每个周期外界所提供能量的比例(此时系统储存能量也不随时间变化):

大部分的共振系统都可以用二阶的微分方程表示,Q因子中2π的系数,使Q因子可以表示成只和二阶微分方程系数有关的较简单型式。在电机系统中,能量会储存在理想无损失的电感电容中,损失的能量则是每个周期由电阻损失能量的总和。力学系统储存的能量是该时间动能势能的和,损失的能量则是因为摩擦力或阻力所消耗的能量。

针对高Q因子的系统,也可以用下式计算的Q因子,在数学上也是准确的:

其中fr为共振频率,Δf为带宽,ωr = 2πfr是以角频率表示的共振频率,Δω是以角频率表示的带宽

在像电感等储能元件的规格中,会用到和频率有关的Q因子,其定义如下[5]

其中ω是计算储存能量和功率损失时的角频率。若电路中只有一个储能元件(电感或是电容),也可用上式来定义Q因子,此时Q因子会等于无功功率相对实功功率的比例。

Q因子及阻尼

Q因子可决定一个简单阻尼谐振子的量化特性(有关数学的细节及不同系统的行为,请参考谐振子线性时不变系统理论等条目)。

  • 低Q因子的系统(Q < ½)是过阻尼系统。过阻尼系统不会振荡,当偏离稳态输出平衡点时,会以指数衰减的方式,渐近式的回到稳态输出。其冲激响应是二个不同速度的指数衰减函数的和。当Q因子减少时,衰减较慢的响应函数其影响会变明显,因此整个系统会变慢。一个Q因子很低的二阶系统其步阶响应类似一阶系统。
  • 高Q因子的系统(Q > ½)是欠阻尼系统。欠阻尼系统在特定频率的输入下,其输出会振荡,其振幅也会指数衰减。Q因子略高于½的系统可能会振荡一或二次。若Q因子提高,阻尼的效果也会降低。高品质的钟在敲击后可以长时间发出单一音调的声音,没有阻尼的谐振系统其Q因子是无限大,类似一个敲击后可永远发出声音的钟。若二阶低通滤波器有很高的Q因子,其步阶响应一开始会快速上升,在平衡点附近震荡,最后才收敛到稳态的值。
  • Q因子为½的系统是临界阻尼系统。临界阻尼系统和过阻尼系统一様不会震荡,也不会有过冲的情形。临界阻尼系统和欠阻尼系统一様,会对阶跃有快速的响应,临界阻尼可以使系统在不过冲的条件下有最快的反应,实际的系统若要求更快的反应,一般会允许一定程度的过冲,若系统不允许过冲,可能会使反应时间放慢,以提供一定的安全系数

负回授系统中,闭回路系统的响应常常用二阶系统来表示。设定开回路系统的相位裕度可以决定闭回路系统的Q因子,当相位裕度减少时,对应的二阶闭回路系统振荡会变大,也就是Q因子提高。

常见系统的Q因子

Q因子的物理意涵

根据物理学,Q因子等于乘以系统储存的总能量,除以单一周期损失的能量,也可以表示为系统储存的总能量和单位弪度损失能量的比值。[7]

Q因子是无量纲的参数,是比较系统振幅衰减的时间常数和振荡周期后的结果。当Q因子数值较大时,Q因子可近似为系统从开始振荡起,一直到其能量剩下原来的 (约1/535或0.2%),中间历经的振荡次数[8]

共振的带宽可以用下式表示

,

其中共振频率带宽,也就是能量超过峰值能量一半以上的频率范围。

Q因子、阻尼比ζ及衰减率英语attenuationα之间有以下的关系[9]

因此Q因子可表示为

而指数衰减率可表示为

二阶低通滤波器的响应函数可以用下式来表示[9]

若此系统的(欠阻尼系统),系统有二个共轭复数极点,其实部。衰减参数表示其冲激响应指数衰减的速率。Q因子大表示其衰减率较慢,因此Q因子很大的系统可以持续振荡较长的时间。例如高Q因子的钟,用锤子敲击后,其输出近似纯音,且可以维持很长的时间。

电子系统

滤波器振幅增益的图,其中标示带宽为增益值为-3 dB的宽度,增益约为0.707倍,能量是峰值的一半。图中的频率轴可以是线性尺度或是对数尺度。
滤波器振幅增益的图,其中标示带宽为增益值为-3 dB的宽度,增益约为0.707倍,能量是峰值的一半。图中的频率轴可以是线性尺度或是对数尺度。

对电子共振系统而言,Q因子表示电阻的影响,若针对机电共振系统(例如石英晶体谐振器),也包括摩擦力的影响。

RLC电路

理想串联RLC电路的Q因子为:

其中分别是电路的电阻电感电容,若电阻值越大,Q因子越小。

并联RLC电路的Q因子恰为对应串联电路Q因子的倒数:[10]

若将电阻、电感和电容并联形成一电路,并联电阻值越小,其阻尼的效果越大,因此Q因子越小。

若是电感和电容并联的电路,而主要损失是电感内,和电感串联的电阻R,其Q因子和串联RLC电路相同,此时降低寄生电阻R可以提升Q因子,也使带宽缩小到需要的范围内。

储存元件

个别储存元件的Q因子和对应信号频率有关,一般是电路的共振频率。电感器的Q因子为[11]

其中:

  • 为频率。
  • 为电感。
  • 为电感器的感抗
  • 为电感内的电阻。


电容器的Q因子为[11]

其中:

  • 为频率。
  • 为电容。
  • 为电容器的容抗
  • 为电容内的电阻。

力学系统

对于一个有阻尼的质量-弹簧系统,可以用Q因子表示简化的黏滞阻尼或阻力对系统的影响,其中的阻尼力(或阻力)和速度成正比。此系统的Q因子可以用下式表示:

其中M是质量,k是弹簧常数,而D是阻力系数,可用下式来定义:

其中是阻力,是速度[12]

激光系统

激光系统中,光学共振腔的Q因子可以用下式表示

其中为共振频率,为共振腔中储存的能量,为耗散的能量。光学共振腔的Q因子等于共振频率和共振腔带宽的比值。共振光子的平均寿命和Q因子成正比,若激光共振腔中的Q因子突然地调高,共振腔会输出激光脉冲,其强度远高于平常共振腔连结输出的强度,此技术称为为Q切换

相关条目

参考资料

  1. ^ James H. Harlow. Electric power transformer engineering. CRC Press. 2004: 2–216. ISBN 978-0-8493-1704-0. 
  2. ^ Michael H. Tooley. Electronic circuits: fundamentals and applications. Newnes. 2006: 77–78. ISBN 978-0-7506-6923-8. 
  3. ^ Encyclopedia of Laser Physics and Technology:Q factor
  4. ^ Time and Frequency from A to Z: Q to Ra 互联网档案馆存档,存档日期2008-05-04.
  5. ^ James W. Nilsson. Electric Circuits. 1989. ISBN 0-201-17288-7. 
  6. ^ http://opencourseware.kfupm.edu.sa/colleges/ces/ee/ee303/files%5C5-Projects_Sample_Project3.pdf
  7. ^ Jackson, R. Novel Sensors and Sensing. Bristol: Institute of Physics Pub. 2004: 28. ISBN 0-7503-0989-X. 
  8. ^ Benjamin Crowell. Vibrations and Waves. Light and Matter online text series. 2006. , Ch.2
  9. ^ 9.0 9.1 William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press. 
  10. ^ [1]
  11. ^ 11.0 11.1 [2]
  12. ^ Methods of Experimental Physics – Lecture 5: Fourier Transforms and Differential Equations 互联网档案馆存档,存档日期2012-03-19.
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