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哈沙德数

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哈沙德数(Harshad number)是可以在某个固定的进位制中,被各位数字之和(数字和)整除的整数

哈沙德数又称尼云数,是因为伊万·尼云在1997年一个有关数论的会议发表的论文。

若一个数无论在任何进位制中都是哈沙德数,称为全哈沙德数(全尼云数)。只有四个全哈沙德数:1, 2, 4, 6。(12在除八进制以外的进制中均为哈沙德数)

所有在零和进位制的底数之间的数都是哈沙德数。

除非是个位数,否则素数不是哈沙德数。

十进制中,100以内的哈沙德数OEISA0053491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...

连续数个整数均为哈沙德数

1994年,H.G. Grundman 证明在十进制并无21个连续整数均是哈沙德数,他亦找到了最小20个连续整数都是哈沙德数的数列,它们大于1044363342786

1996年T. Cai 证明了以下的事实:在二进制存在无限多组连续四个整数为哈沙德数;在三进制存在无限多组六个整数为哈沙德数。

有猜想说n进制中有无限多组连续2n个整数为哈沙德数,但并无连续2n+1个整数为哈沙德数。

密度

N(x)为小于或等于x哈沙德数的数目,对于任何给定的 ε > 0 ,Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon发现:

De Koninck、Doyon和Katai证明:

c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

参考

  • H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
  • Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
  • Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275
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