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哈沙德数(Harshad number)是可以在某个固定的进位制中,被各位数字之和(数字和)整除的整数。
哈沙德数又称尼文数,是因为伊万·尼文在1997年一个有关数论的会议发表的论文。
若一个数无论在任何进位制中都是哈沙德数,称为全哈沙德数(全尼文数)。只有四个全哈沙德数:1, 2, 4, 6。(12在除八进制以外的进制中均为哈沙德数)
所有在零和进位制的底数之间的数都是哈沙德数。
除非是个位数,否则质数不是哈沙德数。
在十进制中,100以内的哈沙德数 A005349:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...
Cooper和Kennedy在1993年证明了十进制里没有21个连续整数均是哈沙德数。[1][2]他们亦找到了最小20个连续整数都是哈沙德数的数列,它们大于1044363342786。
1994年,H.G. Grundman 扩展了Cooper和Kennedy的结果,表明n进制中有无限多组连续2n个整数为哈沙德数,但并无连续2n+1个整数为哈沙德数[2][3]。1996年T. Cai 证明了以下的事实:在二进制存在无限多组连续四个整数为哈沙德数;在三进制存在无限多组六个整数为哈沙德数。[2]
设N(x)为小于或等于x哈沙德数的数目,对于任何给定的 ε > 0 ,Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon发现:
De Koninck、Doyon和Katai证明:
当 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。
12进制:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200,...
eg.6804是4重哈沙德数 6804/(6+8+0+4)=6804/18=378 378/(3+7+8)=378/18=21 21/(2+1)=21/3=7 7/7=1
6804是4重哈沙德数
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