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商环

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环论

环论中,商环(或称剩余类环)是环对一个理想的商结构。

定义

为一为一双边理想。定义下述等价关系

为其等价类的集合,其中的元素记作,其中是该元素在上任一代表元。我们可以在上定义环结构:

以上运算是明确定义的(在第二式中须用到是双边理想)。集合配合上述运算称作商环。根据定义,商映射是满的环同态,为此同态的核。

如果含单位元,则的单位元。

:若条件弱化为是左(或右)理想,上述两式仍可赋予集合左(或右)-结构。

例子

  • 最平凡的例子是,此时分别得到
  • ,商环可视为模运算的代数框架,其中的元素即模的剩余类。
  • 商环是构造代数扩张的主要工具。例如取实系数多项式环,则商环与复数域同构(考虑映射)。一般而言,设为一个上的不可约多项式,则商环的意义在于抽象地在上加进的一个根。

性质

商环由下述泛性质唯一决定(至多差一个同构):

为商同态;对任何环同态,若 ,则存在唯一的同态,使得

事实上,若更设,则是单射。准此,的同态像无非是的商环。

理想的性质常与其商环相关,例如当是交换含幺环时,素理想(或极大理想)当且仅当整环(或);中包含的理想一一对应于中的所有理想,此对应由商映射的逆像给出。

文献

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