单峰映象 - Wikiwand
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单峰映象

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单峰映射logistic map)是种二次的多项式映射递推关系式),是一个由简单非线性方程产生混沌现象的经典范例。这种映射因生物学家Robert May在1976年发表的一篇论文而著名。单峰映射原本被Pierre François Verhulst用作一个人口学模型,后来应用在物种受到限制因素之下的数目[1]。数学上可写成

其中

  • 是介于0和1之间的数,表示在第年的物种数目。
  • 是正整数,是根据繁殖和饿死率而得出的数。

单峰映射是根据以下两个现象:

  1. 当人口少时,繁殖增加的人口大致跟物种的原本总数目成正比;
  2. 环境资源有一“最大容量”,当人口接近最大容量时,人口可能会下降。

可是在特定初始条件及参数时,单峰映射的人口模型会出现负的人口数,较早期使用的Ricker模型英语Ricker model也有混沌现象,但没有这种问题。

的单峰映射是位元移动映射英语bit shift map及参数μ=2的帐篷映射的非线性变换。

r的值对结果的影响

变化参数的值,其结果如下:

  • 0和1之间:不论启始值数值为何,会越来越少,最后趋近于0。
  • 1和2之间:不论启始值数值为何,会快速的趋近
  • 2和3之间:经过几次迭代,也会越来越接近,但一开始会在这个值左右振动,而收敛速率是线性的。
  • 3:仍然会越来越接近,但收敛速率极为缓慢,不是线性的。
  • 3和(约3.45)之间:针对几乎所有的初值,最后会在2个值之间持续的震荡,即最后会是a,b,a,b...的变化,其数值和有关。
  • 3.45和大约3.54之间,针对几乎所有的初值,最后会在4个值之间持续的震荡。
  • 约大于3.54:最后会在8个、16个、32个值……之间持续的震荡,至于何时会令的值由n个到2n个,则和费根鲍姆常数有关。
  • 约为3.5699:这样的振动消失,整个系统开始在混沌的状态之中。针对几乎所有的初值,都不会出现固定周期的震荡,初值再微小的变化,随着时间都会使结果产生明显的差异,这就是典型混沌的特性。
  • 大于3.5699:整个系统在混沌的状态之中。不过,当中有些特定的值还是使系统变成非混沌,有周期性的结果,这些区间称为“稳定岛”。例如当约大于3.82,会出现3个值的周期,再大一点出现6个值及12个值的周期。
  • 从大约3.5699到大约3.8284之间,系统混沌性质发展的现象有时会称为Pomeau–Manneville场景英语Pomeau–Manneville scenario,其特征是周期性的震荡和非周期性的行为会穿插出现。此特征可以应用在半导体元件中[2]。也有其他区域会使系统的周期为5个值,不管任意周期都存在某特定的,使周期为指定值。
  • 大于4:针对几乎所有的初值,系统最后都会超过区间[0,1]并且发散。

对于任一个值,最多只有一个稳定的极限环,若稳定极限环存在,几乎所有的点最后都会趋近极限[3]:13。若某一个值有一个稳定的极限环,可能也有无限个不同周期的不稳定极限。

这些情况可用分枝图英语Bifurcation diagram表示,分枝图中的横轴是参数的数值,纵轴中显示大部分初值下,稳态可能的值,若最后数值会在2个值中震荡,分枝图上对应的数值就会有2点。若某特定值下,已无法明确的看到有几个对应的点,当时系统可能已经在混沌状态下。

分枝图有自相似的特性。若将分枝图中的部分展开,只取三个分支中的一个。其图形会好像是原分枝图缩放及扭曲后的结果。针对所有非混沌的参数都有此一特性。以此可以看出混沌和分形深入及明显的关系。

单峰映射和混沌

r=4的单峰映射,二维及三维的相图,其中可看出其拉伸及折叠的特性
r=4的单峰映射,二维及三维的相图,其中可看出其拉伸及折叠的特性
单峰映射的蛛网图(英语:cobweb diagram),在超过3.57的大部分r值可看出其混沌的特性
单峰映射的蛛网图英语cobweb diagram,在超过3.57的大部分r值可看出其混沌的特性

和其他混沌系统比较,单峰映射较为简单,是一个说明混沌特性的很好的例子。简单来说,混沌就是对初始条件的高度灵敏度。是在3.57及4之间的大部分数值都可以使单峰映射出现此一特性。对初始条件有高度灵敏度的常见原因是映射本身是对定义域的拉伸及折叠。单峰映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。

利用二维及三维的相图可以看出一些单峰映射的特性。以的单峰映射为例,二维相图为一抛物线,但是若用绘制三维相图,可看出进一步的结构,例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散.特别是位在斜率较大位置的点。

拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散(参照李亚普诺夫指数),可以用有混沌特性时,单峰映射的复杂及不可预测性说明这一点。事实上,数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系:初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加。因此当对于初始状态的资讯中有微小的误差时.对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。

由于映象是限制在实数数线的一段范围内,其维度小于或等于1。依数值分析的结果,在r=3.5699456...时(刚开始混沌特性时),其关联维度英语correlation dimension为0.500 ± 0.005[4](Peter Grassberger,1983)、豪斯多夫维数大约是0.538[5],而分形维数为0.5170976...[4]

r=3.5的单峰映射,在头三次迭代后的函数
r=3.5的单峰映射,在头三次迭代后的函数

有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子,则存在一概率量测英语Probability measure描述系统长期下,在吸引子各部分所花时间的比例。以的单峰映射而言,启始状态在区间(0,1)中,而吸引子也在间(0,1)中,其概率量测对应参数Β分布[6],其不变测度英语invariant measure。不可预期性和随机不同,不过在一些情形下这二很类似,而且即使对单峰映射(或其他混沌系统)初值只有很少的资讯,仍然可以针对长期的分布作某种程度的预测。

部分情形下的解

的特殊情形下,单峰映射有解析解[7]。不过大部分情形下的通解只能以统计的方式预测[8]的解为[7][9]

其中初始条件参数是由求得。针对有理数的,有限次数的迭代后就会变成一个周期性的数列。不过几乎所有的都是无理数,此时不会重复,因此没有周期解。此解可以清楚的看出混沌的二个重要特征:拉伸及折叠。系数2n表示拉伸的指数成长,因此造成蝴蝶效应,也就是对初始值的高度灵敏性,而解中包括正弦函数的平方,使解折叠在[0, 1]的范围内。

的解为:

对于。此解没有混沌的特性。由于对于不包括不稳定固定点0在内的,当n趋近无限大时会趋近于零,因此会趋近稳定的固定点

r = 4时找任意周期的循环

r = 4时,几乎所有的初值都会使单峰映射出现混沌特性,不过也存在无限个初值会使单峰映射最后呈周期性变化,而且对于所有正整数,都存在一初值使单峰映射的周期为该正整数。可以利用单峰映射和位元位移映射英语bit-shift map之间的关系来找出任何周期的循环。若x依照单峰映射y依照位元位移映射

则二个变量的关系如下:

.

位元位移映射其名称是因为当y以二进制表示时,映射会将二进制的数字左移一位。例如若数字是二进制的循环小数,循环节为001,则位元位移映射的序列为001001001... →010010010... →100100100... →001001001...,为周期为3的循环,循环节为010, 011, 100, 101, 110 时也会有类似情形,这些循环小数都可以转换为对应的分数,上例若以分数表示为:1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。转换到r=4的单峰映射后,为611260467... → .950484434... → .188255099... → .611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为单峰映射。依相同方式也可以找出在 位元位移映射下,任意周期的循环,再转换为单峰映射。

不过几乎所有在区间[0, 1)的数字都是无理数,而初始值为无理数的位元位移映射没有循环的特性,因此对应的单峰映射也没有循环的特性。

相关条目

参考资料

  1. ^ "埃里克·韦斯坦因. Logistic Equation. MathWorld. 
  2. ^ Carson Jeffries; Jose Perez. Observation of a Pomeau–Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator. Physical Review A. 1982, 26 (4): 2117–2122. Bibcode:1982PhRvA..26.2117J. doi:10.1103/PhysRevA.26.2117. 
  3. ^ Collet, Pierre, and Jean-Pierre Eckmann英语Jean-Pierre Eckmann, Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Birkhauser, 1980.
  4. ^ 4.0 4.1 Peter Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, 9 (1–2): 189–208. Bibcode:1983PhyD....9..189G. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. 
  5. ^ Peter Grassberger. On the Hausdorff dimension of fractal attractors. Journal of Statistical Physics. 1981, 26 (1): 173–179. Bibcode:1981JSP....26..173G. doi:10.1007/BF01106792. 
  6. ^ Jakobson, M.,"Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps," Communications in Mathematical Physics 81, 1981, 39-88.
  7. ^ 7.0 7.1 Schröder, Ernst. Über iterierte Funktionen. Math. Ann. 1870, 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. 
  8. ^ Little, M.; Heesch, D. Chaotic root-finding for a small class of polynomials (PDF). Journal of Difference Equations and Applications. 2004, 10 (11): 949–953. doi:10.1080/10236190412331285351.  已忽略未知参数|author-separator= (帮助)[永久失效链接]
  9. ^ Lorenz, Edward (1964), "The problem of deducing the climate from the governing equations," Tellus 16 (February): 1-11.

教科书

  • Sprott, Julien Clinton. Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. 2003. ISBN 0-19-850840-9. 
  • Strogatz, Steven. Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing. 2000. ISBN 0-7382-0453-6. 
  • Tufillaro, Nicholas; Tyler Abbott, Jeremiah Reilly. An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. Addison-Wesley New York. 1992. ISBN 0-201-55441-0. 

外部链接

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