四格骨牌 - Wikiwand
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四格骨牌

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所有的四格骨牌
所有的四格骨牌

四格骨牌(Tetromino),又称四连块四连方,是一种多格骨牌,每块以四个全等的正方形连成[1][2],反射或旋转视作同一种共有五种,可以英文字母代表。

四格骨牌属于平面的图案,在多连立方中有对应的四连立方或四立方体(tetracube),是由四个全等的立方体组成。

四格骨牌常出现在游戏中,像在电子游戏俄罗斯方块中就是移动四格骨牌来进行游戏[3]

四格骨牌

五种四格骨牌,从上到下分别可以用英文字母I, O, Z, T, L标示,其中正方形标示深色及浅色的颜色,相邻方形用不同的颜色,五种四格骨牌,浅色方形有11个,深色方形有9个,无法完全的放在4×5或2×10的长方形中,因为这些长方形若将方块轮流标示深色及浅色,最后深色方形及浅色方形数量会相同
五种四格骨牌,从上到下分别可以用英文字母I, O, Z, T, L标示,其中正方形标示深色及浅色的颜色,相邻方形用不同的颜色,五种四格骨牌,浅色方形有11个,深色方形有9个,无法完全的放在4×5或2×10的长方形中,因为这些长方形若将方块轮流标示深色及浅色,最后深色方形及浅色方形数量会相同

自由四格骨牌

多格骨牌是将正方形边和边相连组成的形状。自由骨牌(free polyomino)是指考虑全等关系的多格骨牌,若二个自由骨牌彼此全等,视为是同一种自由骨牌。因此二个自由骨牌若在平移旋转反射后相等,就算是同一种自由骨牌。

自由四格骨牌是由四个方形组成的自由骨牌,一共有五种。

单面四格骨牌

单面四格骨牌(one-sided tetrominoes)允许平移及旋转,但不能反射(不能翻面,所以称为单面骨牌)。在游戏俄罗斯方块中出现的都是单面四格骨牌。单面四格骨牌共有七种,其中有三种有反射对称性,反射后的图案和原来相同,不会因为只考虑单面四格骨牌而使数量加倍,这些骨牌是:

  • I(也称为直线骨牌,Straight Polyomino"[4]):四个方块以直线排列。
  • O(也称为方形骨牌,Square Polyomino[5]):四个方块排成2×2的方形。
  • T(也称为T形骨牌,T-Polyomino[6]):三个方块排成一列,另一个方块在一列骨牌的中间下方。

剩下的四种骨牌有不对称性,四种骨牌分为二类,每类中的两种骨牌互为另一种的反射。

L型骨牌,L-Polyominos:[7]

  • J型:三个方块排成一列,另一个方块在一列骨牌的右侧下方。
  • L型:三个方块排成一列,另一个方块在一列骨牌的左侧下方。

斜骨牌,Skew Polyominos:[8]

  • S型:二个水平排列的骨牌,上面再放二个水平排列的骨牌,往右斜一格。
  • Z型:二个水平排列的骨牌,上面再放二个水平排列的骨牌,往左斜一格。

若是自由四格骨牌,J型骨牌等于L型骨牌,S型骨牌等于Z型骨牌,但若在二维空间内,不允许翻面,不可能将J型骨牌变成L型骨牌,或是让S型骨牌变成Z型骨牌。

固定四格骨牌

固定四格骨牌(free tetramino)只允许平移,不允许旋转及反射。固定四格骨牌有二种I型、四种J型、四种L型、一种O型、二种S型、四种T型及二种Z型骨牌,共有19种固定四格骨牌。

用四格骨牌填满长方形

虽然四格骨牌共有5种,加起来有20个方格,不过无法用5个四格骨牌填满一个长方形,此情形不同于五格骨牌,较类似六格骨牌,证明时要用到肢解国际象棋盘问题的概念:

20个方格的长方形,若将方格轮流标示深色及浅色,最后深色方格及浅色方格会各有10个,但一组的自由四格骨牌(共五种)会有11个某种颜色的方格,剩下另一个种颜色的方格有9个(T形骨牌会有一种颜色的方格有三个,另一种颜色有三个,其他骨牌的两种颜色的方格各有二个),因此无法填满。若考虑一组的单面四格骨牌(共七种)也无法完全的放在28个方格的长方形中。

此外,任何奇数组的自由四格骨牌或单面四格骨牌都无法组成长方形。但若二组自由四格骨牌可以填满4×10及5×8的长方形。

5×8长方形
4×10长方形

以类似方式,二组单面四格骨牌可以填满一个长方形,方法还不止一种。因此任何偶数组的自由四格骨牌或单面四格骨牌都无法填满长方形[9]

以下是由二组自由四格骨牌,高度为1时所形成的四立方体,填满2×4×5及2×2×10的长方体。

2×4×5 长方体
 第一層      :     第二層

Z Z T t I    :    l T T T i
L Z Z t I    :    l l l t i
L z z t I    :    o o z z i
L L O O I    :    o o O O i
2×2×10 长方体
      第一層           :          第二層

L L L z z Z Z T O O    :    o o z z Z Z T T T l
L I I I I t t t O O    :    o o i i i i t l l l

四立方体

五种四格骨牌都可以成为四立方体,只要将高度延伸一单位即可。J型和L型的四立方体是相同的,S型和Z型的四立方体也是相同的,因为只要翻面就可以由一种四立方体变成另一种。

此外,还有三种四立方体没有对应的四格骨牌,这些是由V型的三立方体上面再加一个立方体而得。

  • 右旋型:单位立方体放在顺时针的一侧,在三维中有不对应性(下图中用D表示)。
  • 左旋型:单位立方体放在逆时针的一侧,在三维中有不对应性(下图中用S表示)。
  • 分支型:单位立方体放在弯曲点上,在三维中没有不对应性(下图中用B表示)。

因此有八个四立方体。

多立方体一般只允许平移及旋转,像右旋型及左旋型虽是镜射对称,但和平面的不同,无法用翻面的方式让右旋型变成左旋型。

用四立方体填满长方体

在三维的情形,这八个四立方体可以填满4×4×2或8×2×2的长方体,以下的D、S、B及Z分别表示右旋型、左旋型、分支型及平面的Z型(S型)。

4×4×2 长方体

 第一層  :  第二層

S T T T  :  S Z Z B
S S T B  :  Z Z B B
O O L D  :  L L L D
O O D D  :  I I I I

8×2×2 长方体

     第一層     :     第二層

D Z Z L O T T T : D L L L O B S S
D D Z Z O B T S : I I I I O B B S

若立体不对应的D型及S型视为一样的,则七个四立方体可以填满7×2×2的长方体,其中的C表示D型或S型。

    第一層    :    第二層

L L L Z Z B B : L C O O Z Z B
C I I I I T B : C C O O T T T

参考资料

  1. ^ Golomb, Solomon W. Polyominoes 2nd. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 1994. ISBN 0-691-02444-8. 
  2. ^ Redelmeier, D. Hugh. Counting polyominoes: yet another attack. Discrete Mathematics. 1981, 36: 191–203. doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5. 
  3. ^ "About Tetris", Tetris.com. Retrieved 2014-04-19.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Straight Polyomino." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Polyomino.[永久失效链接]" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "T-Polyomino." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  7. ^ Weisstein, Eric W. "L-Polyomino." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Skew Polyomino." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  9. ^ ttet11.pdf (PDF). [28 May 2015]. 

相关条目

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