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量纲分析

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物理量量纲可以用来分析或检核几个物理量之间的关系,这方法称为量纲分析dimensional analysis)。通常,一个物理量的量纲是由像质量长度时间电荷量温度一类的基础物理量纲结合而成。例如,速度的量纲为长度每单位时间,而计量单位为米每秒、英里每小时或其它单位。量纲分析所根据的重要原理是,物理定律必需跟其计量物理量的单位无关。任何有意义的方程式,其左手边与右手边的量纲必需相同。检查有否遵循这规则是做量纲分析最基本的步骤。

推导获得的方程式或计算结果是否基本上合理,惯常可以用量纲分析来检察。对于较复杂的物理状况,量纲分析也可以用来构筑合理假定(参见关联模型),然后,做严格的实验加以测试,或用已发展成功的理论仔细检试。量纲分析能够按照各种物理量的量纲,将它们详细分类。

牛顿相似性原理

早在十七世纪,艾萨克·牛顿就已经提出量纲分析的基本原理,现在知名为“牛顿相似性原理”[1][2]。在建立量纲分析的现代用法上,詹姆斯·马克士威也扮演了重要的角色,他区分质量、长度、时间的计量单位为“基础单位”,又将其它单位分类为“衍生单位”[3]。十九世纪法国数学家约瑟夫·傅立叶也做出巨大贡献。他表明,类似牛顿第二定律的物理定律,其方程式应该与计量物理量的单位无关[4]。这引致出重要结论:有意义的定律,对于其方程式的每一个计量单位,这方程式都必需是齐次方程式。这结果最终形式化成为白金汉π定理Buckingham π theorem)。假设一个有物理意义的方程式具有个变数与个基础量纲,白金汉π定理描述怎样将这方程式等价地重写为具有个无量纲参数的方程式。更重要的是,从设定的变数,这定理给出了一种能够计算这些无量纲参数的方法。

通过无量纲化(nondimensionalization)技法,一个具有量纲的方程式可以降低或消除其量纲。这技法首先使用量纲分析,这技法使用系统的基础单位或大自然的自然单位来按比例改变物理量的数值。这技法可以使得物理学者更了解系统的基础性质。稍后,会有更详细说明。

定义

一个物理量的量纲是质量、长度、时间、电荷量、温度的结合,分别由符号MLTQΘ代表,每一个都提升至有理数

注意到术语“量纲”比尺度“单位”更抽象:质量是一种量纲,而公斤是量纲为质量的一种尺度单位。对于每一种量纲,不同的标准制会规定不同的单位。

例如,物理量速度的量纲是长度/时间(L/TLT −1),物理量作用力的量纲是质量×长度/(时间的平方)(ML/T2 or MLT −2)。原则而言,其它种物理量的量纲也可以定义为基础量纲,可以替换上述几个量纲。例如,动量、能量或电流都可以选为基础量纲。

有些物理学者不认为温度是基础量纲,因为温度表达为粒子的能量自由度,这可以以能量(或质量、长度、时间)来表达。有些物理学者不认为电荷量是基础量纲;在厘米-克-秒制内,电荷量可以以质量、长度、时间共同结合在一起来表达。另外,还有一些物理学者怀疑,大自然存在着具有不相容基础量纲的物理量[5]

计量单位与量纲密切相关,但内含的概念大不相同。物理量的单位是由常规定义,与标准制有关。例如,长度的单位可以是米、英尺、英哩或微米;但是,任何长度的量纲必定是L,这与单位无关。同一个物理量的两种不同的单位之间,是靠着转换因子(conversion factor)从一个单位转换到另一个单位。例如,1 in = 2.54 cm,注意到在这里“2.54 cm/in”是转换因子,不具有量纲,其数值等于1。因此,假若将任何物理量乘以转换因子,得到的结果数值不变。量纲符号与量纲符号之间,没有转换因子。

数学性质

量纲符号,像L,形成一个

  1. 这群的运算方法是乘法,Ln×Lm = Ln+m。因此,这种运算方法符合闭包律
  2. 单位元L0 = 1。量纲为L0的物理量是无量纲物理量。
  3. 逆元是1/L or L−1
  4. L提升至任意有理数幂pLp也是群的元素。其逆元是Lp或1/Lp

量纲符号形成一个有理数的向量空间。例如,量纲符号MiLjTk对应于向量(i,j,k)。当两个物理量(不论其量纲是否相同)相乘或相除,它们的量纲也同样的相乘或相除,这对应于相加或相减于向量空间。当物理量提升至有理数幂,其量纲也会提升至同样的有理数幂,这对应于标量乘法于向量空间。

给定量纲符号的向量空间,其基底是以基础量纲为元素的集合,所有其它向量称为衍生量纲。如同在任何向量空间,有不同的基底可供自由选择,这会造成不同的单位制。例如,选择电荷量单位是衍生于电流单位,或反之亦可。

无量纲物理量对应于向量空间的原点

白金汉π定理(Buckingham π theorem)阐明,对于某个物理问题,如果存在n个变量, 其中有m个基本量,则存在n-m个独立的无量纲参数,即可以将n个变量组合成n-m个无量纲π数。

以简单摆运动为例,这个物理问题存在5个变量:摆球的质量、 摆线的长度、摆角、时间和重力加速度,其中有3个基本量:质量、长度和时间,则存在2个独立的无量纲π数,如

例子

可以透过艾萨克·牛顿著名的公式

做量纲分析,[M]代表质量量纲,[L]代表长度量纲,[T]代表时间量纲,则为:

相应地,力的国际单位牛顿(N)的定义是:

,即公斤(kg)·(m)·秒(s)负二次方

若力沿着一定路径作

可以看出量纲上:

另外,非相对论(即古典力学里)动能的定义:

其量纲为:

量纲和功相同。这也和功能定理相应。

应用

透过量纲分析可以对物理推导过程进行检验,确认前后是否一致无误。

此外,一些物理学上的演绎是透过量纲分析而生的,例如普朗克长度普朗克时间普朗克质量。它们的出现最先是透过将普朗克常数光速重力常数三项常数组合出长度量纲、时间量纲、质量量纲而衍生得到它们应该具有的数值。

参考来源

  1. ^ Price, Bartholomew, A treatise on infinitesimal calculus, containing differential and integral calculus, calculus of variations, applications to algebra and geometry, and analytical mechanics, Volume 4, University Press: pp. 119ff, 1862 
  2. ^ Stahl, Walter R, Dimensional Analysis In Mathematical Biology, Bulletin of Mathematical Biophysics, 1961, 23: 355 
  3. ^ Roche, John J, The Mathematics of Measurement: A Critical History, London: Springer: 203, 1998, ISBN 978-0387915814, Beginning apparently with Maxwell, mass, length and time began to be interpreted as having a privileged fundamental character and all other quantities as derivative, not merely with respect to measurement, but with respect to their physical status as well. 
  4. ^ Mason, Stephen Finney, A history of the sciences, New York: Collier Books: 169, 1962, ISBN 0-02-093400-9 
  5. ^ M. J. Duff, L. B. Okun and G. Veneziano, Trialogue on the number of fundamental constants, JHEP 0203, 023 (2002) preprint页面存档备份,存于互联网档案馆).

外部链接

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