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圆周率

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各种各样的
基本

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

圆周率是一个数学常数,为一个周长和其直径比率近似值约等于3.141592654,常用符号来表示。

因为是一个无理数,所以它不能用分数完全表示出来(即它的小数部分是一个无限不循环小数)。当然,它可以用像般的有理数来近似。的数字序列被认为是随机分布的,有一种统计上特别的随机性,但至今未能证明。此外,还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式。由于的超越性质,化圆为方的问题不可能用尺规作图解决。

几个文明古国在很早就需要计算出的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时,中国刘宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间,印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个的精确无穷级数公式(即π的莱布尼茨公式)直到约1000年后才由印度数学家发现。[1][2]微积分的出现,很快地将的计算位数推至数百位,足以满足任何科学工程的计算需求。在20和21世纪,由于计算机技术的快速发展,借助计算机的计算使得的精度急速提高。截至2021年8月,十进制精度已高达6.28×1013位。[3]当前人类计算的值的主要目的是为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法,因为几乎所有的科学研究对的精度要求都不会超过几百位。[4]:17[5]

因为的定义中涉及圆,所以三角学几何学的许多公式,特别是在圆形、椭球形或球形相关公式中广泛应用。[6]在更近代的数学分析里,改由实数系统谱性质中的特征值周期来定义,不再指涉几何。所以它也在一些和圆之几何无甚相关的数学和科学领域中出现,像是数论统计以及几乎物理学中的所有领域。的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍的书籍,圆周率日(3月14日)和值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。[7]此外,背诵值的世界记录已经达到100,000位的精度。[8]

直径为1的圆的周长是π
直径为1的圆的周长是π

基本概念

名称

数学家用小写希腊字母表示圆周和其直径之比,有时也将其拼写为“Pi”,这来自于希腊语“περίμετρος”(周长)的首字母。[9]在英语中,的发音与英文单词“Pie”(/p/西式馅饼)相同。[10]在数学中,的小写字母(或者是其无衬线体)要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。

关于为何选择符号的原因,请参见π符号的引入一节。

定义

圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
。
圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为

常用定义为周长直径的比值:[4]:8

.

无论圆的大小如何,比值为恒值。如果一个圆的直径变为原先的二倍,它的周长也将变为二倍,比值不变。当前的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理,虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面(即非欧几里得几何),但这些圆将不再符合定律[4]

这里,圆的周长指其圆周的弧长,弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。[11]例如,若想计算笛卡儿坐标系中单位圆上半部分的弧长,需要用到积分[12]

上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对的积分定义。[13]

这些依赖于周长,且隐性地依赖积分的定义,如今在文献中并不常见。雷默特(Remmert (1991))解释说这是因为在现代微积分教学中,大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前,所以不依赖于后者的的定义就很有必要了。其中一种定义,由理查·巴尔策英语Richard Baltzer提出,[14]爱德蒙·兰道推广,[15]其表述如下:是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。[4][12][16]余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数[17]定义,或者使用微分方程的解来定义。[16]

在相似的启发下,可以用关于复变量复指数函数来定义。复指数类似余弦函数,可透过多种方式定义。令函数值为一的复数集合是一个如下所示的(虚)算数过程:

,

并且其中包括一个独特的正实数[12][18]

一个基于同样想法,但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学代数学概念,用以下定理描述:[19]存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态(拓扑学概念,指在拓扑空间之间的一种态射)。数字被定义为此同态派生的模的一半。[20]

在给定的周长的条件下,圆会围成最大的面积,因此的表述同样为等周不等式中出现的常数(乘四分之一)。此外,在很多其他紧密相关的方程中,作为某些几何或者物理过程的特征值出现;详见下文

无理性及正规性

是个无理数,也就是说,无法表示成两个整数之比的形式(形如的分数常用来近似表达,但是没有任何普通分数(指整数的比)可以取到的精确值)。[4]:5由于是无理数,故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数英语proof that π is irrational,这些证明也都要用到微积分学反证法。人们还无法准确得知可以用有理数来近似的程度(称为无理性度量),不过估计其无理性度量比eln(2)的要大,但是小于刘维尔数的无理性度量[21]

人们通过统计随机性英语statistical randomness检验,包括正规数的检验,验证了的位数没有明显的固定模式。因此,的小数中任意固定长度的序列(例如3位数字的000,001……999)出现概率都相同[22]。不过有关π正规数的猜想既无证明,亦无证伪[4]:22-23[22]

电脑的出现使得人们可以生成大量π的不同位数,并进行统计分析。金田康正针对π的十进制数字进行了详细的统计分析,并验证了其分布的正规性:例如,将出现0到9十个数字的频率进行假设检定,找不到有特定重复规律的证据[4]:22, 28–30。根据无限猴子定理,任何任意长度,由随机内容组成的子序列都有可能看起来像不随机产生的。因此,就算π的小数序列通过了随机性统计测试,其中也可能有几位的数字看起来似有规律可循而非随机数,例如π的十进制写法中,自第762位小数后开始出现了连续六个的9[4]:3

超越性

由于π是超越数,不能利用尺规作图化圆为方。
由于π超越数,不能利用尺规作图化圆为方

不仅是个无理数,还是一个超越数,即不是任何一个有理数系数多项式。(比方说,试图通过解有限项方程,来求得的值。)[23][注 1]

的超越性衍生出了一些重要的结果:不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得,因此不是规矩数。换言之,利用尺规作图作不出长度为的线段,也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圆为方问题,该问题早在古典时代即已提出,曾困扰人们数千年之久[24][25]。直至今天,依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题[26]

连分式

像所有的无理数一样,无法表示成一个分数。但是每一个无理数,包括,都能表示成一系列叫做连分数的连续分数形式:

在这个连分数的任意一点截断化简,都能得到一个π的近似值;前四个近似值是:3,。这些数在历史上是最广为人知且广为使用的几个近似值。用以上方式得出的的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近π[27]由于是一个超越数,据超越数定义来说它不是代数数,又因此不可能是一个二次无理数;是故不能表示为循环连分数。尽管的简单连分数没有表现出任何其他明显规律,[28]数学家们发现了数个广义连分数能表示,例如:[29]

近似值

圆周率近似值包括:

  • 整数3
  • 分数(依准确度顺序排列):22/7333/106355/11352163/16604103993/33102245850922/78256779[27](选自 A063674A063673。)
  • 小数(整数后首80个位):3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...[4]:240(另见 A000796

其他进位制中的近似值

  • 二进制(整数后首48个位):11.001001000011111101101010100010001000010110100011...
  • 十六进制(整数后首20个位):3.243F6A8885A308D31319...[4]:242
  • 六十进制(整数后首5个位):3;8,29,44,0,47[30]

复数与欧拉恒等式

欧拉公式给出了e的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系。
欧拉公式给出了e的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的之间的关系。

任何复数(以为例)都可以表示为一组实数对:在极坐标系中,一个实数用来表示半径,代表复平面上复数离原点的距离;另一个实数则用来表示夹角,即这条半径(复平面上复数与原点的连线)与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来,就可写成[31]

,这里代表一个虚数单位,即

复分析中,欧拉公式三角函数与复指数函数糅合在一起[32]

,这里数学常数e自然对数的底数。

欧拉公式确立了的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系,而且当时,欧拉公式就能改写为欧拉恒等式的形式:

。此等式亦称“最奇妙的数学公式”(英语:the most remarkable formula in mathematics),全因为它将五个最基本的数学常数简洁地联系起来[32][33]

欧拉等式亦可用于求出方程个不同的复数根(这些根叫做单位根[34]),可以根据以下公式求得:

谱特征

震荡弦的泛音是二次微分的本征函数,会形成泛音列。对应的本征值会形成由π整数倍组成的等差数列
震荡弦的泛音是二次微分的本征函数,会形成泛音列。对应的本征值会形成由π整数倍组成的等差数列

经常出现在和几何相关的问题之中。然而,在不少和几何无关的问题中也可以看到的身影。

在许多的应用中都会以特征值的形式出现。例如理想的振动弦英语vibrating string问题可以建模为函数在单位区间的图形,固定边界值。弦振动的模态会是微分方程,此处λ是相关的特征值。受施图姆-刘维尔理论限制,只能是一些特定的数值。而即为一个特征值,因为函数满足边界条件及微分方程[35]

依照第一代开尔文男爵威廉·汤姆森所述的一个传说,古迦太基城的外形是等周长问题的一个解(Thompson 1894)。这些包围着海的区域是迦太基女王狄多所围的,城不靠海的边界需要用一块指定大小的牛皮围住,后来是将牛皮剪成小段
依照第一代开尔文男爵威廉·汤姆森所述的一个传说,古迦太基城的外形是等周长问题的一个解(Thompson 1894)。这些包围着海的区域是迦太基女王狄多所围的,城不靠海的边界需要用一块指定大小的牛皮围住,后来是将牛皮剪成小段

是上述方程中最小的特征值,也和弦振动的基本模式英语fundamental mode有关。一个让弦振动的方式是提供弦能量,能量会满足维廷格函数不等式[36],其中提到若函数使得,且都是平方可积函数,则以下的不等式成立:

此例中等号成立的条件恰好是倍数的时候。因此似乎是维尔丁格不等式的最佳常数,因此也是最小的特征值(根据雷利商数英语Rayleigh quotient的计算方式)

在更高维度的分析中也有类似的角色,出现在其他类似问题的特征值中。就如以上所述的一个特点是等周定理中的最佳常数:周长为的平面若尔当曲线,所围面积满足以下的不等式

等号成立的条件是曲线为一圆形,因为.[37]

圆周率也和庞加莱不等式的最佳常数有关[38]是一维及二维的狄氏能量英语Dirichlet energy特征向量最佳值中,最小的一个,因此会出现在许多经典的物理现象中,例如经典的位势论[39][40][41]。其一维的情形即为维廷格不等式。

圆周率π也是傅里叶变换的一个重要常数,傅里叶变换属于积分变换,将一个在实数线上的一个有复数值,可积分的函数,转换为以下的型式:

傅里叶变换有几种不同的写法,但不论怎么写,傅里叶变换及反傅里叶变换中,一定会有某处出现。不过上述的定义是最经典的,因为其描述了L2空间中唯一的幺正算符,也是空间到空间的代数同态[42]

不确定性原理中也有出现这个数字。不确定性原理提出了可以将一个函数在空间及在频域中局部化程度的下限,利用傅里叶转换的方式表示:

物理的结果,有关量子力学中同时观测位置及动量的不确定性,见下文。傅里叶分析中π的出现是史东–冯纽曼定理英语Stone–von Neumann theorem的结果,证实了海森伯群薛定谔表示英语Schrödinger representation的唯一性[43]

高斯积分

高斯函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2))}
  
的图像,函数下方与X轴围成的阴影部分面积为
  
    
      
        
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\pi ))}
  
。
高斯函数的图像,函数下方与X轴围成的阴影部分面积为

高斯积分是对高斯函数在整条实轴上的积分,即函数下方与X轴围成的面积,其结果为

此积分的计算可以先计算对整条实轴的积分的平方,通过转换笛卡尔坐标系极坐标系从而求得

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为,求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求的积分。

另外,当高斯函数为以下形式时,它则是平均数标准差正态分布概率密度函数[44]

因为这个函数是一个概率密度函数,函数下方与X轴围成的面积必须为1,令即可变换得出概率论统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型:例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布[45]

由一维布朗运动的反正弦定律,可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算π
由一维布朗运动的反正弦定律,可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算π

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及的核心作用,这个定理本质上是联系着谱特征海森堡不确定性原理相关的特征值,并且在不确定性原理中有

这里的分别为位置与动量的标准差约化普朗克常数,而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立[46]

同样地,作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换,此时的高斯函数形式为[47]。根据豪(Howe)的说法,建立傅里叶分析基本定理的“全部工作(whole business)”简化为高斯积分。

历史

远古时期

圆周率在远古时期(公元前一千纪)已估算至前两位(“3”和“1”)。有些埃及学家声称,远至古王国时期时期的古埃及人已经用作为圆周率的约数[48][注 2],但这个说法受到了质疑。[50][51][52][53]

最早有记载的对圆周率估值在古埃及巴比伦出现,两个估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一块公元前1900至1600年的泥板,泥板上的几何学陈述暗示了人们当时把圆周率视同(等于3.125)。[4]:167埃及的莱因德数学纸草书(鉴定撰写年份为公元前1650年,但抄自一份公元前1850年的文本)载有用作计算圆面积的公式,该公式中圆周率等于(约等于3.1605)。[4]:167

公元前4世纪的《百道梵书英语Shatapatha Brahmana》中的天文学运算把(约等于3.139,精确到99.91%)用作圆周率估值[54]。公元前150年前的其他印度文献把圆周率视为(约等于3.1622)[4]:169

割圆时代

π可以透过计算圆的外切多边形及内接多边形周长来估算
π可以透过计算圆的外切多边形及内接多边形周长来估算

第一个有纪录、严谨计算π数值的算法是透过正多边形的几何算法,是在公元前250年由希腊数学家阿基米德所发明。[4]:170这个算法使用了有一千年之久,因而有时π亦称阿基米德常数。[4]:175、205阿基米德的算法是在计算圆的外切正六边形及内接正六边形的边长,以此计算的上限及下限,之后再将六边形变成十二边形,继续计算边长……,一直计算到正96边形为止。他根据多边形的边长证明(也就是[55]。阿基米德得到的上限也造成一个常见误解,认为就等于[4]:171。在公元前150年,希腊罗马的科学家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一书中提到π的数值是3.1416,可能来自阿基米德,也可能来自阿波罗尼奥斯[4]:176[56]数学家在1630年利用多边形的方式计算π到第39位小数,一直到1699年,其他数学家才利用无穷级数的方式打破其纪录,计算到第71位小数[57]

阿基米德发展了用多边形近似π的计算方式
阿基米德发展了用多边形近似π的计算方式

中国历史上,的数值有3[58]、3.1547(公元前一世纪)、(公元前100年,数值约3.1623)及(第三世纪,数值约3.1556)[4]:176–177。大约在公元265年,曹魏的数学家刘徽创立了割圆术,用3,072边的正多边形计算出π的数值为3.1416。[59][4]:177刘徽后来又发明了一个较快的算法,利用边数差两倍的正多边形,其面积的差值会形成等比数列,其公比为的原理,配合96边形算出的数值为3.14。[59]祖冲之在公元480年利用割圆术计算12,288形的边长,得到的值在3.1415926和3.1415927之间。他同时提出了的约率22/7和密率355/113。在之后的八百年内,这都是准确度最高的π估计值。[4]:178为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献,日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”。[60]

印度天文学家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亚哈塔历书》中使用了3.1416的数值。[4]:179斐波那契在大约1220年利用独立于阿基米德多边形法,计算出3.1418[4]:180。意大利作家但丁·阿利吉耶里用的数值则是[4]:180

波斯天文学家卡西在1424年利用3×228边的多边形,计算到六十进制的第9位小数,相当十进制的第16位小数。[61][62]这一突破成为当时的纪录,延续了约180年。[63]法国数学家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217边形计算到第9位小数[63],佛兰芒数学家阿德里安·范·罗门在1593年计算到第15位小数[63]。荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦在1596年计算到第20位小数,他之后又计算到第35位小数(因此在二十世纪初之前,圆周率在德国会称为鲁道夫数)。[4]:182–183荷兰科学家威理博·司乃耳在1621年计算到第34位小数[4]:183,而奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格英语Christoph Grienberger在1630年用1040边形计算到第38位小数[64],至今这仍是利用多边形算法可以达到最准确的结果[4]:183

无穷级数

比较几个曾用来计算π的无穷级数的收敛情形。Sn是只取前n项的近似值。每一个图都是对应前一张图的阴影部分,然后横轴放大10倍。(点击后可以察看细节)
比较几个曾用来计算π的无穷级数的收敛情形。Sn是只取前n项的近似值。每一个图都是对应前一张图的阴影部分,然后横轴放大10倍。(点击后可以察看细节)

16世纪及17世纪时,的计算开始改用无穷级数的计算方式。无穷级数是一组无穷数列的和[4]:185–191。无穷级数让数学家可以计算出比阿基米德以及其他用几何方式计算的数学家更准确的结果。[4]:185–191虽然詹姆斯·格雷果里戈特弗里德·莱布尼茨等欧洲数学家利用无穷数列计算π而使得该方法为大家所知,但这种方法最早是由印度科学家在大约1400到1500年之间发现的。[4]:185-186[65]第一个记载的用无穷级数计算π的人是约公元1500年左右时,印度天文学家尼拉卡莎·萨默亚士英语Nilakantha Somayaji在他的著作《系统汇编英语Tantrasamgraha》中用梵语诗所记录。[66]当时没有这个数列对应的证明,而证明出现在另一本较晚的印度作品《基本原理》,年代约在公元1530年。尼拉卡莎将该数列归功于更早期的印度数学家桑加马格拉马的马德哈瓦英语Madhava of Sangamagrama( 1350 –  1425)。[66]有许多相关的无穷级数,包括有关的,现在称为马德哈瓦数列英语Madhava seriesπ的莱布尼茨公式[66]。玛达瓦在1400年用无穷级数计算π到第11位小数,但在1430年一位波斯数学家卡西利用多边形算法否定了他算的的结果[67]

艾萨克·牛顿利用无穷级数计算π到第15位,后来写道:“我很羞愧的告诉你我为了这个计算用了多少个数字。”[68]
艾萨克·牛顿利用无穷级数计算π到第15位,后来写道:“我很羞愧的告诉你我为了这个计算用了多少个数字。”[68]

欧洲第一个发现的无穷项圆周率公式无穷乘积(和一般用来计算π的无穷级数不同),由法国科学家弗朗索瓦·韦达在1593年发现[4]:187[69]

约翰·沃利斯在1655年发现了沃利斯乘积,是欧洲第二个发现的无穷项圆周率公式[4]:187

微积分学是由英国科学家艾萨克·牛顿及德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代发明,因此也出现许多计算π的无穷级数。牛顿自己就利用反正弦)数列在1655年或1666年将π近似到第15位小数,后来写到“我很羞愧的告诉你我为了这个计算用了多少个数字,我当时没有做其他的事。”[68]

苏格兰数学家詹姆斯·格雷果里在1671年发现了马德哈瓦公式,莱布尼茨也在1674年发现:[4]:188–189[70]

这个公式即为格雷果里-莱布尼茨公式,在时数值为[70]1699年时英国数学家亚伯拉罕·夏普用格雷果里-莱布尼茨公式,在时计算,计算到了的第71位小数,打破由多边形算法得到的第39位小数的记录。[4]:189格雷果里-莱布尼茨公式在时非常简单,但收敛到最终值的速度非常慢,因此现在不再会用此公式来计算[4]:156

约翰·梅钦在1706年利用格雷果里-莱布尼茨级数产生了一个可以快速收敛的公式:[4]:192–193

梅钦用这个公式计算到的第100位小数[4]:72–74后来其他数学家也发展了一些类似公式,现在称为梅钦类公式,创下了许多计算位数的记录。[4]:72–74在进入电脑时代时,梅钦类公式仍然是个耳熟能详的可以计算的公式,而且在约250年的时间里,很多有关位数的记录都是梅钦类公式所得,比如在1946年时由达尼尔·弗格森(Daniel Ferguson)用这类公式计算到第620位小数,是在没有计算设备辅助下的最佳纪录。[4]:192–196, 205

1844年,计算天才扎卡里亚斯·达斯英语Zacharias Dase在德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的要求下以梅钦类公式心算了的200个小数位,并创下纪录。[4]:194-196英国数学家威廉·谢克斯英语William Shanks花了15年的时间计算π到小数707位,不过中间在第528位小数时出错,因此后面的小数也都不正确。[4]:194–196

收敛速度

有些π的无穷级数收敛的比其他级数要快,数学家一般会选用收敛速度较快的级数,可以在较少的计算量下计算,且达到需要的准确度[71][4]:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202。以下是π莱布尼茨公式[4]:69–72

随着一项一项的值加入总和中,只要项次够多,总和最后会慢慢接近。不过此数列的收敛速度很慢,要到500,000项之后,才会精确到的第五小数[72]

尼拉卡莎在15世纪发展了另一个的无穷级数,其收敛速度较格雷果里-莱布尼茨公式要快很多,该级数为:[73]

以下比较二个级数的收敛速率:

的无穷级数 第1项 前2项 前3项 前4项 前5项 收敛到:
4.0000 2.6666... 3.4666... 2.8952... 3.3396... π = 3.1415...
3.0000 3.1666... 3.1333... 3.1452... 3.1396...

计算前5项后,格雷果里-莱布尼茨级数的和跟的误差为0.2,而尼拉卡莎级数和的误差为0.002。尼拉卡莎级数收敛的快很多,因此也比较适合用来计算的数值。收敛更快的级数有梅钦类公式楚德诺夫斯基算法,后者每计算一项就可以得到14位正确的小数值数[71]

无理性与超越性

并非所有和有关的研究都旨在提高计算它的准确性。1735年,欧拉解决了巴塞尔问题,因而建立了所有平方数倒数和与的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式,得到了素数的重要关联,对日后黎曼ζ函数的研究影响深远。[74]

1761年,瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式证明英语Proof that π is irrational无理数[4]:5[75]1794年,法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明了也是无理数。1882年,德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数都是超越数,该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼-魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式,只能是超越数,进而证实了勒让德和欧拉提出的超越性猜想。[4]:196[76]哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出后,经过希尔伯特施瓦兹和其他一些人化简过。[77]

符号的引入

莱昂哈德·欧拉在他在1736年到1748年的作品中开始使用希腊字母π表示圆周率,因此也开始广为数学界使用
莱昂哈德·欧拉在他在1736年到1748年的作品中开始使用希腊字母π表示圆周率,因此也开始广为数学界使用

在用π专指“圆周率”之前,希腊字母即已用于几何概念中[4]:166威廉·奥特雷德在1647年起在《数学之钥》(Clavis Mathematicae)就已经用(对应p和d的希腊字母)来表示圆的周长及直径的比例。

威廉·琼斯在他1706年出版的《新数学导论》(A New Introduction to the Mathematics)中提到了,是目前已知最早专门用希腊字母表示圆周和其直径比例的人[78]。这个希腊字母的第一次出现,是在书中讨论一个半径为1的圆时,提到“其圆周长的一半()”。琼斯选用了的原因可能是因为它是希腊文中“周边”一词“περιφέρεια”的第一个字[79]。不过琼斯提到,他的那些有关的算式是出自“真正聪明的约翰·梅钦先生”,因此人们推测在琼斯之前,约翰·梅钦就已经开始使用此希腊字母表示圆周率[4]:166

琼斯是在1706年开始使用此希腊字母,但直到莱昂哈德·欧拉在其1736年出版的《力学英语Mechanica》中开始使用之后,其他的数学家们才纷纷开始用来指代圆周率。在此之前,数字家可能用像cp之类的字母代表圆周率[4]:166。因为欧拉与欧洲其他数学家之间时常互相写信来往,的用法迅速传播开来[4]:166。1748年欧拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了,写道:“为了简洁起见,我们将此数字写为等于半径为1的圆周长的一半。”这个表示方式之后也推展到整个西方世界[4]:166

现代数值近似

计算机时代与迭代算法

约翰·冯·诺伊曼所在的团队是第一个用数位计算机ENIAC来计算π的
约翰·冯·诺伊曼所在的团队是第一个用数位计算机ENIAC来计算π
高斯-勒让德算法
一开始设定

迭代计算:

π的估计值为

二十世纪中期计算机技术的发展、革新再次引发了计算π位数的热潮。美国数学家约翰·伦奇及李维·史密斯在1949年利用桌上型计算机计算到1,120位[4]:205。同年,乔治·韦斯纳(George Reitwiesner)及约翰·冯·诺伊曼带领的团队利用反三角函数(arctan)的无穷级数,通过ENIAC计算到了小数第2,037位,花了70小时的电脑工作时间[80]。这一纪录后来多次由其他透过arctan级数计算出的结果打破(1957年到7480位小数,1958年到第一万位数,1961年到第十万位小数),直到1973年,人们计算出了小数点后的第一百万位小数[4]:197

1980年代的两项发明加速了的计算。第一项是人们发现了新的的迭代法去计算π的值,其计算速度比无穷级数会要快很多。另一项是人们发现了可以快速计算大数字乘积的乘法算法[4]:15–17。这类算法在现代π的计算上格外的重要,因为电脑大部分的工作时间都是在计算乘法[4]:131。这类算法包括Karatsuba算法Toom–Cook乘法及以傅里叶变换为基础的乘法算法(傅里叶乘法)[4]:132, 140

迭代算法最早是在1975年至1976年间分别由美国物理学家尤金·萨拉明英语Eugene Salamin (mathematician)及奥地利科学家理查·布兰特英语Richard Brent (scientist)独立提出[4]:87。这两个算法没有依赖无穷级数来计算。迭代会重复一个特定的计算,将前一次的计算结果作为这一次的输入值,使得计算结果渐渐的趋近理想值。此方式的原始版本其实是在160年前由卡尔·弗里德里希·高斯提出,现在称为算术-几何平均数算法(AGM法)或高斯-勒让德算法[4]:87。因为萨拉明及布兰特都曾对此进行修改,因此这个算法也称为萨拉明-布兰特算法。

迭代算法因为收敛速度比无穷级数快很多,在1980年代以后广为使用。无穷级数随着项次的增加,一般来说正确的位数也会增加几位,但迭代算法每多一次计算,正确的位数会呈几何级数增长。例如萨拉明-布兰特算法每多一次计算,正确位数会是之前的二倍。1984年加拿大人乔纳森·波温英语Jonathan Borwein彼得·波温英语Peter Borwein提出一个迭代算法,每多一次计算,正确位数会是之前的四倍,1987年时有另一个迭代算法,每多一次计算,正确位数会是之前的五倍[81]。日本数学家金田康正使用的算法在1955年及2002年之间创下了若干个纪录[82]。不过迭代算法的快速收敛也有其代价,因为这个算法需要的内存的大小明显的要比无穷级数要多[82]

计算的意义

当数学家发现新的算法、电脑变得普及时,π的已知小数位急剧增加。注意垂直坐标使用了对数坐标。
当数学家发现新的算法、电脑变得普及时,π的已知小数位急剧增加。注意垂直坐标使用了对数坐标

一般而言,值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照约尔格·阿恩特(Jörg Arndt)及克里斯托夫·黑内尔(Christoph Haenel)的计算,39个数位已足够运算绝大多数的宇宙学的计算需求,因为这个精确度已能够将可观测宇宙圆周的精确度准确至一个原子大小[83]。 尽管如此,人们仍然是奋力地运算出小数点后的上千甚至上百万个数位[4]:17–19。这一部分是出于人类对打破记录的冲动,因为那些和有关的成就往往成为世界各地的新闻头条[84][85]。此外,这其中也有一些实际的好处,例如测试超级计算机、测试数值分析算法等(包括高精度乘法算法英语Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs)。在纯粹数学的领域中,计算的位数也能让人们来评定π的随机性[4]:18

快速收敛级数

斯里尼瓦瑟·拉马努金的肖像,他在印度独立工作时提出了许多新颖的计算
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的数列。
斯里尼瓦瑟·拉马努金的肖像,他在印度独立工作时提出了许多新颖的计算的数列。

现代计算的程序不仅仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代,人们发现了一些可用来计算的新无穷级数,其收敛速度可与迭代算法媲美,而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。[82]印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱,他在1914年发表了许多与相关的公式,这些公式十分新颖,极为优雅而又颇具数学深度,收敛速度也非常快。[4]:103–104下式即为一例,其中用到了模方程

这个无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列,包括梅钦公式。[4]:104第一位使用拉马努金公式计算并取得进展的是比尔·高斯珀英语Bill Gosper,他在1985年算得了小数点后一千七百万位。[4]:104, 206拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河,此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟英语Chudnovsky brothers进一步发展了这类算法。[4]:110–111后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式,如下所示:

此公式每计算一项就能得到的约14位数值[86],因而用于突破圆周率的数位的计算。利用这个公式,楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得小数点后10亿(109)位,法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿(2.7×1012)位,亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿(1013)位。[4]:110–111, 206[87][88]类似的公式还有拉马努金-佐藤级数英语Ramanujan–Sato series

2006年,加拿大数学家西蒙·普劳夫利用PSLQ整数关系算法英语integer relation algorithm[89]按照以下模版生成了几个计算的新公式:

其中e是一个奇数是普劳夫计算出的有理常数。[90]

蒙特卡洛方法

布丰投针问题,多枚长度为的针随机地抛掷向平面。
随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点。
蒙特卡洛方法基于随机试验结果计算的近似值

蒙特卡洛方法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法,通过进行大量重复试验计算事件发生的频率,按照大数定律(即当试验次数充分大时,频率充分地接近于概率)可以求得的近似值[91]布丰投针问题就是其中一个应用的例子:当一枚长度为的针随机地往一个画满间距为的平行线的平面上抛掷次, 如果针与平行直线相交了次,那么当充分大时就可根据以下公式算出的近似值[92]

另一个利用蒙特卡罗方法计算值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点,落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于.[4]:39–40[93]


此外,还可以通过进行随机游走试验,并利用蒙特卡罗方法计算值,如抛掷一枚均匀的硬币次,并记录正面朝上的次数,所得结果中,正面朝上的次数服从二项分布

因为硬币均匀,所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量,当抛掷结果为正面时否则为-1,且且取何值具有相同的概率(即,正面朝上和背面朝上的概率相同)。对随机变量求和可得

k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”,即可得到。对式子进行变换,得,因此

,其中

可以证明[94]

,以及

并且当变大时,的值会渐近于,因此当充分大时可根据以下公式算出的近似值:[95]

和其他计算值的方法相比,蒙特卡洛方法收敛速度很慢,而且无论进行多少次实验,都无从得知的估值已经精确到了第几位。因此,当追求速度或精度时,蒙特卡洛方法不适合用来估计[4]:43[96]

阀门算法

1995年引入的两个算法开辟了研究的新途径。因为每计算出一位数字,该数就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中,这种新进算法叫做阀门算法英语spigot algorithm[4]:77–84[97]这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。[4]:77–84

1995年,美国数学家斯坦·瓦格纳英语Stan Wagon和斯坦利·拉比诺维茨(Stanley Rabinowitz)发明了一种简单的阀门算法[97][4]:77[98],其运算速度类似arctan算法,但速度比迭代算法要慢[4]:77

贝利-波尔温-普劳夫公式(BBP)是另一个阀门算法,属于一种位数萃取算法英语digit extraction algorithm。1995年,西蒙·普劳夫等人发现[4]:117, 126–128[99]

这个公式和其他的公式不同,可以在十六进制下计算的任意位数小数,而不用计算所有前面的小数位数[4]:117, 126–128。一个十六进制下的数位可计算得到特定一个二进制的数位;想要得到一个八进制数位的话,计算一、两个十六进制小数即可。目前也已发现一些这种算法的变体,不过人们还没有发现针对十进制、可以快速产生特定位数小数数字的位数萃取算法[100]。位数萃取算法的一个重要用途是用来确认声称是计算到小数位数的新记录:若有声称是新纪录的计算结果出现,先将十进制的数值转换到十六进制,再用贝利-波尔温-普劳夫公式,去确认最后的一些位数(用乱数决定),若这些位数都对,人们就能有一定把握认为此计算结果是对的[88]

在1998年到2000年之间,分布式计算计划PiHex英语PiHex利用贝拉公式(贝利-波尔温-普劳夫公式的一种变体)计算的第1015个位,结果是0[4]:20[101]。在2010年9月,一名雅虎员工利用公司的Apache Hadoop应用程序在上千台电脑上计算在2×1015个数位开始,往后数的256个位,其第2×1015个位刚好也是0[102]

用途

由于与圆密切相关,故它出现在许多几何学和三角学的公式中(特别是与圆、球体和椭圆相关的那些)。 此外,也出现在其他学科的重要公式中,比如统计学、物理学,傅立叶分析和数论的公式。

几何学与三角学

圆的面积等于
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
乘以阴影部分面积。
圆的面积等于乘以阴影部分面积。

出现在基于圆的几何图形(如椭圆圆锥环面)的面积、体积公式中。下面是一些涉及到的较常见公式:[6]

  • 半径为的圆周长为
  • 半径为圆的面积
  • 半径为的球的体积为
  • 半径为的球面的面积为

上述公式是n 维球的体积与其边界((n−1) 维球的球面)的表面积的特殊情况,具体将在后文给出解释。

描述由圆产生的图形的周长、面积或体积的定积分通常会涉及到。例如,表示半径为1的半圆的面积的积分为:[103]

由于的积分表示上半圆(此处的平方根勾股定理得出), 从-1到1的积分可用来计算计算半圆与x之间的面积。

正弦和余弦函数的重复周期为 2π。
正弦余弦函数的重复周期为 2π

三角函数要用到角,而数学家们常常用弧度作为角度的单位。在弧度制中起着重要作用,数学家将一个周角,即角度 360°,定义为弧度。[104]由这条定义可得,角度 180° 等于弧度,角度弧度。[104]因此,常用的三角函数的周期为的倍数;例如,正弦和余弦周期为[105]对于任何角度和任何整数,都有

,以及 [105]

拓扑学

克莱因四次曲面(英语:Klein quartic)的单值化,亏格为3且欧拉特征值为−4的面,作为双曲面与菲诺平面(英语:Fano plane)的对称群PSL(2,7)的商。根据高斯-博内定理,基本域的双曲面积为8π.
克莱因四次曲面英语Klein quartic单值化亏格为3且欧拉特征值为−4的面,作为双曲面菲诺平面英语Fano plane对称群PSL(2,7)的商。根据高斯-博内定理,基本域的双曲面积为8π.

常数出现在将平面微分几何英语differential geometry of surfaces及其拓扑学联系起来的高斯-博内定理中。具体来说,如果一个曲面Σ高斯曲率,那么有

其中是该曲面的欧拉示性数,是一个整数。[106]例如,一个曲率为1(也就是说其曲率半径英语radius of curvature也为1,对于球面而言此时的曲率半径与半径重合)的球面的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算,其结果为2。于是,便得出

即为半径为1的球面的表面积公式。

常数还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中,特别是那些涉及通过陈-韦伊同态的特征类[107]

向量分析

向量分析的方法可以通过分解成球谐函数来理解(图示)
向量分析的方法可以通过分解成球谐函数来理解(图示)

向量分析是与向量场的性质有关的微积分的分支,并有许多物理应用,例如应用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源牛顿位势英语Newtonian potential[108]

表示位于距原点的单位质量(或电荷)的势能,而是维度常数。在这里由表示的场可以是(牛顿)引力场或(库仑)电场,是位势的负梯度

特殊情况有库仑定律牛顿万有引力定律高斯定律表明,通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面的场的向外通量等于

\oiint

标准形式会将的这个因子吸收到常数中,但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外,是单位球面的表面积,但并没有假设是球面。然而,作为散度定理的结果,由于远离原点的区域是真空(无源的),只有中的表面同调类与计算积分有关,因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替,特别是球形,因为球面坐标可以用于计算积分。

高斯定律的结果之一是位势的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数倍:

通过卷积就能得到物质(或电荷)的更一般分布,给出泊松方程

其中是分布函数。

爱因斯坦方程表明,时空的曲率是由其中的物质能量产生的。
爱因斯坦方程表明,时空的曲率是由其中的物质能量产生的。

常数在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用,爱因斯坦方程是形成广义相对论基础的一个基本公式,并且把引力基本相互作用描述为物质能量引起的时空弯曲的结果:[109]

其中里奇曲率张量数量曲率度量张量宇宙学常数万有引力常数是真空中的光速,而应力-能量张量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟,并化简(reduce)至在弱域的极限,而右边是分布函数的模拟乘以

柯西积分公式

复杂的解析函数可以以一系列的流线和等电位线(许多以直角相交的曲线)视觉化,图中是伽玛函数的复数对数。
复杂的解析函数可以以一系列的流线和等电位线(许多以直角相交的曲线)视觉化,图中是伽玛函数的复数对数。

复分析中,沿复平面若尔当曲线围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西积分公式表明,对任意若尔当曲线内任一点,以下围道积分给出[110]

该命题是柯西积分定理的直接推论,后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变,因而沿任一曲线的积分和沿以为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地,该公式对不通过点的任意可求长曲线都成立,但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数

一般形式的柯西积分公式建立了全纯函数 在若尔当曲线上的值与曲线内任意点处值的关系:[111][112]

柯西积分定理是留数定理的一个特例。根据留数定理,在区域内除去有限个解析的亚纯函数在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足:

Γ函数与斯特灵公式

通过维拉瑞索圆(英语:Villarceaux circles)将三个球面霍普夫纤维化,下方是 富比尼–施图迪度量的黎曼球面 with its 富比尼–施图迪度量 (如图所示的三个平行曲面). 恒等式S3(1)/S2(1) = π/2可以确定一个数列。
通过维拉瑞索圆英语Villarceaux circles将三个球面霍普夫纤维化,下方是 富比尼–施图迪度量黎曼球面 with its 富比尼–施图迪度量 (如图所示的三个平行曲面). 恒等式S3(1)/S2(1) = π/2可以确定一个数列。

阶乘函数的值等于所有小于等于的正整数之积,它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是阶乘的推广。它在复平面的右半平面定义为:

再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整个复数域。当自变量取正整数时,函数给出阶乘;当自变量取半整数时,计算结果含有。例如[113]

根据魏尔施特拉斯分解定理函数可分解为如下的无穷乘积:[114]

其中欧拉-马斯刻若尼常数。利用该分解公式和函数在的值,亦可以证明沃利斯乘积式。函数和黎曼ζ函数函数行列式英语functional determinant的恒等式存在关联,其中扮演着重要的角色

函数常用于计算维欧氏空间中n 维球的体积和n 维球面的表面积。对维欧氏空间中半径为维球,其体积和表面积满足:[115]

两者还满足如下的关系式:

很大时,利用函数可以得到关于阶乘的一个近似公式。该公式称作斯特灵公式[116],等价于:

斯特灵近似的几何应用之一是埃尔哈特体积猜想英语Ehrhart's volume conjecture。将维欧几里得空间的单纯形记作则表示该单纯形的所有面扩大。于是

这是仅含一个晶格点之凸体体积的(最佳)上界[117]

数论与黎曼ζ函数

每个质数都有一个关联的普鲁法群(英语:Prüfer group),即圆的算数定域。分析数论中的L函数也定域在每个质数p上。
每个质数都有一个关联的普鲁法群英语Prüfer group,即圆的算数定域。分析数论中的L函数也定域在每个质数p上。
基于韦伊猜想(英语:Weil conjecture on Tamagawa numbers)的巴塞尔问题的解:
  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)}
  
 的数值是模群(英语:modular group)中一个基本域的双曲面积的 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  
 倍。
基于韦伊猜想英语Weil conjecture on Tamagawa numbers的巴塞尔问题的解: 的数值是模群英语modular group中一个基本域的双曲面积的 倍。

黎曼ζ函数 在数学的许多领域均有应用。当自变量 ,可以写作

找到这个无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年,欧拉解决了这个问题,他得到该无穷级数等于[74]。欧拉的结论可以推导出一个数论中的结果,即两个随机整数互质(即无公因数)的概率为 [4]:41–43[118]。由于任意整数可由质数整除的概率(例如,在所有正整数中,连续7个数中有且只有一个可以被7整除)。因此,任取两个随机整数都能以质数整除的概率为,至少有一个不能整除的概率则为。又因为一个随机整数能否被两个不同的质数整除是相互独立事件,那么两个随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数的无穷乘积[119]

这个结论可以结合随机数生成器,利用蒙特卡罗方法计算的近似值。[4]:43

巴塞尔问题的结论意味着几何导出量的数值与质数的分布有着深刻的关联。巴塞尔问题是谷山-志村定理的一个特殊情况,是安德烈·韦伊对玉河数的猜想英语Weil's conjecture on Tamagawa numbers的一个特例,即猜想一个这种形式的算术量关于所有质数的无穷乘积能够等于一个几何量——某个局部对称空间英语locally symmetric space体积的倒易。在巴塞尔问题中,这个空间是一个双曲3-流形英语hyperbolic 3-manifold SL2(R)/SL2(Z)英语modular group[120]

函数同样满足黎曼方程的公式,其中用到了和伽玛公式:

除此之外, 函数导数也满足

最终的结果是可以从谐振子泛函行列式英语functional determinant中求得。这个泛函行列式可以通过一个无穷乘积展开式计算, 而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。[121]这种方法可以应用于量子力学, 尤其是玻尔模型中的变分[122]

傅里叶级数

π出现在P进数中的表示(如图),它们是普鲁法群(英语:Prüfer group)的元素。泰特的论文(英语:Tate's thesis)很大程度地利用了这个系统。[123]
π出现在P进数中的表示(如图),它们是普鲁法群英语Prüfer group的元素。泰特的论文英语Tate's thesis很大程度地利用了这个系统。[123]

周期函数傅里叶级数中,很自然地出现了。周期函数即实数的小数部分所构成群上的函数。傅里叶分解指出,一个上的复值函数可表示为无穷多个酉特征英语unitary character的线性叠加之和。也就是说,圆群(模为1的复数组成的乘法群)的映射是连续群同态的特征都具有的形式,这是一个定理。

上存在一个唯一的特征值,直到复共轭,那是一个群同态。在圆群中使用 哈尔测度,常数是这个特征值的拉东-尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为的正整数倍。[20]因此,常数是一个独特的数字,以至于配备了其哈尔测度的群,具有对于整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性[124]。这是泊松和公式英语Poisson summation formula的一维版本。

模形式与函数

常数模形式Θ函数密切相关——比如,椭圆曲线中的j变量英语j-invariant就很大程度上涉及到了楚德诺夫斯基算法(一种快速计算π的方法)。

模形式是以在上半平面全纯函数的在模群英语modular group(或其子群,的一格)下的变换特性归纳。Θ函数便是一例:

它是一种名为雅可比形式英语Jacobi form的模形式,[125]有时以诺姆英语nome (mathematics)表达。

常数是一个特殊的常数,它会使雅可比函数形成自守形式,即该函数会以特定方式变换。有若干恒等式在所有自守形式下成立。,例如:

它使得必然在离散海森伯群下以表示(representation)变换。一般模形式和其他函数也包含,这也是根据史东–冯纽曼定理英语Stone–von Neumann theorem[125]

柯西分布与位势论

箕舌线,其英文名来源于玛利亚·阿涅西(1718–1799),是柯西分布的一个几何构筑图。
箕舌线,其英文名来源于玛利亚·阿涅西(1718–1799),是柯西分布的一个几何构筑图。

柯西分布

是一个概率密度函数。其总概率等于1,因为下列积分:

柯西分布的香农熵等于, 也含

柯西分布控制做布朗运动的粒子通过膜的通道
柯西分布控制做布朗运动的粒子通过膜的通道

柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的福斯坦堡测度英语Furstenberg boundary和与在半平面上做布朗运动相关联的经典泊松核[126]共轭谐波函数英语Conjugate harmonic function以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。 希尔伯特变换是一个由奇异积分柯西主值给出的积分变换

常数是唯一的(正)归一化因子因此定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的线性复结构英语linear complex structure[127]。 和傅里叶变换一样,希尔伯特变换就其在希尔伯特空间的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化,它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子[128]。常数是唯一的能使这个变换幺正的归一化因子。

复变动态系统

可以从曼德博集合中计算π,计算方式和计算从(−0.75, ε)点开始,一直到发散之前的次数有关
可以从曼德博集合中计算π,计算方式和计算从(−0.75, ε)点开始,一直到发散之前的次数有关

大卫·波尔(David Boll)在1991年发现在曼德博集合分形中也有π的出现[129]。他检查在曼德博集合在位置的特性。若考虑坐标在“颈部”的点,而趋近于零,在发散之前迭代的次数和相乘,会趋近于。若是在右侧尖点处附近的点也会有类似的特性:在发散之前迭代的次数和的平方根相乘,也会趋近于[129][130]

数学之外的

描述物理现象

即便不是一个物理常数也经常出现在描述宇宙的基本原则方程中,因为与圆以及球坐标系的关系密切。比方说,这是经典力学领域一个简单的公式,给出了长度为L的单摆做小幅摆动的近似周期(为地球引力加速度常数):[131]

海森堡不确定性原理是量子力学的一个基本公式,它表明在对一个粒子测量时,其位置不确定度()与动量不确定度()不可能同时达到任意小(普朗克常数):[132]

近似于三这一特性,和电子偶素的半衰期相对较长有密切的联系。其半衰期的倒数和精细结构常数的关系为[133]

其中为电子质量。

也出现在许多结构工程的公式中,例如欧拉推导的挫曲公式说明了长度为截面二次轴矩I的细长形物体,在不挫曲的条件下可以承受的最大轴向负载[134]

流体动力学斯托克斯定律中也有。斯托克斯定律是半径约为的小球体在黏度流体中以速度运动时会受到的阻力满足[135]

在理想状态下,一个河流的曲折程度——也就是河道本身的长度与源头到入海口的比值——随着时间的推移逐渐趋向于。河流外边缘的快速水流的弯曲会导致河流内边缘加倍的侵蚀,而河道因此变得更加弯曲,使得整个河流弯折得更加厉害。然而,这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方,导致“短路”,并在此过程中形成一个河迹湖。这两种相反的因素使得河道长度与源头到入海口的比值的平均值为π[136][137]

的记忆技巧

π文字学(或译作圆周率π的语言学)是指人们记住大量的位值[4]:44–45,并将其世界纪录载于吉尼斯世界纪录大全中的做法。维尔·米纳(Rajveer Meena)于2015年3月21日在印度于9小时27分钟内背诵了7万位的,创下吉尼斯世界纪录大全认证的世界纪录。[138]2006年,日本退休工程师原口证,自称已经背诵了十万个小数位,但他未获吉尼斯世界纪录大全认证。[139]

一个常用于记忆π的技巧是背诵一个以单词的长度代表数值的故事或诗歌:第一个单词有三个字母,第二个单词有一个字母,第三个单词有四个字母,第四个单词有一个字母,第五个单词有五个字母,如此类推。一个早期的例子是由英国科学家詹姆士·金斯设计的诗歌:“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.[4]:44–45这一类的诗歌有时在英文中称为“piem”。除了英文,用于记忆π的诗歌亦有不同语言的版本[4]:44-45。但是,创下纪录的记忆的人一般并不以诗歌记忆,而是用如记忆数字规律或轨迹法英语method of loci的方法。[140]

有好几位作家仿照上述记忆技巧,用的数值创作了新型的约束写作英语constrained writing方式,其中单词的长度须符合的数值。《The Cadaeic Cadenza英语Cadaeic Cadenza》以上述技巧包含了前3835位的值[141],一本标准长度的书《Not a Wake》有一万个单词,其中每个单词亦代表了的一个位值。[142]

大众文化中的

一个π派。圆形的西式馅饼是个常见的π双关语(在英语中,圆周率和派的发音相同)。
一个π派。圆形的西式馅饼是个常见的π双关语(在英语中,圆周率和派的发音相同)。

也许因为的公式很简短而且四处可见, 比其他数学常数在流行文化中更常见[注 3]

在2008年由英国公开大学英国广播公司联合制作的记录片《数学的故事英语The Story of Maths》于2008年十月由英国广播公司第四台播放。影片讲述了英国数学家马库斯·杜·索托伊在到访印度研究当地三角学的贡献时,展示出历史上π最精确的计算公式的信息图形[145]

在巴黎的科学博物馆发现宫中有一个称为“房”的圆形房间。墙上刻有的707位数字。数字贴在圆顶状的天花板上,由大型的木制字符组成。数值是1853年由英国数学家威廉·尚克思英语William Shanks的计算结果,但是该结果于第528位后开始出现谬误,其在1946年发现,1949年修正。[146][4]:50

卡尔·萨根的小说《接触未来》中则暗示说,宇宙的创造者在π的数字中暗藏了一则信息。[147]π的数字也用在凯特·布希所出的专辑Aerial英语Aerial (album)中的《Pi》的歌词里。[148]

在美国,人们在3月14日庆祝圆周率日,一个在学生中很流行的节日。[149]一些自称“数学极客”的人常常用与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话麻省理工学院则有几个包含“3.14159”的大学欢呼口号英语cheering[150]2015年的圆周率日格外重要,因为按照美式的写法,当天的日期时间3/14/15 9:26:53较之于其他的圆周率日包含了更多位数的[151]

北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上,谷歌使用了一些包含在内的数学或科学常数进行竞价。[152]

在1958年,阿尔伯特·伊格尔