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埃伦费斯特定理

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保罗·埃伦费斯特。
保罗·埃伦费斯特。

量子力学里,埃伦费斯特定理Ehrenfest theorem)表明,量子算符期望值对于时间的导数,跟这量子算符与哈密顿算符对易算符,两者之间的关系,以方程表达为[1]

其中, 是某个量子算符 是它的期望值哈密顿算符 是时间,约化普朗克常数

埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里,埃伦费斯特定理非常显而易见;取海森堡方程的期望值,就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学刘维尔定理密切相关;刘维尔定理使用的泊松括号,对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上,从根据经验法则,将对易算符换为泊松括号乘以 ,再取 趋向于 0 的极限,含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。

导引

假设,一个物理系统的量子态 ,则算符 的期望值对于时间的导数为

薛定谔方程表明哈密顿算符 与时间 的关系为

共轭复数

因为哈密顿算符是厄米算符 。所以,

将这三个方程代入 的方程,则可得到

所以,埃伦费斯特定理成立:

实例

使用埃伦费斯特定理,可以简易地证明,假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间,则这系统是保守系统

从埃伦费斯特定理,可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言,速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料,就可以分析量子系统的运动行为。

保守的哈密顿量

思考哈密顿算符

假若,哈密顿量显性地不含时间, ,则

哈密顿量是个常数

位置的期望值对于时间的导数

试想一个质量 的粒子,移动于一维空间.其哈密顿量

 ;

其中, 为位置,动量位势

应用埃伦费斯特定理,

由于 ,位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值:

这样,可以得到动量 的期望值。

动量的期望值对于时间的导数

应用埃伦费斯特定理,

由于 与自己互相交换,所以, 。又在坐标空间里,动量算符 不含时间: 。所以,

将泊松括号展开,

使用乘法定则

在量子力学里,动量的期望值对于时间的导数,等于作用力 的期望值。

经典极限

取经典极限[2] ,则可得到一组完全的量子运动方程:

这组量子运动方程,精确地对应于经典力学的运动方程:

取“经典极限”,量子力学定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢?标记 。设定 泰勒展开

由于

这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的,就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关:

  1. 一个是量子态对于位置的不可确定性。
  2. 另一个则是位势随着位置而变化的快缓。

参阅

参考文献

  1. ^ Smith, Henrik. Introduction to Quantum Mechanics. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754. 
  2. ^ Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238. 
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