埃尔米特矩阵 - Wikiwand
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埃尔米特矩阵

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线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))} 向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵 向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积 · 内积 · 数量积 · 向量积 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 (LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解) · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 · 查论编

埃尔米特矩阵(英语:Hermitian matrix,又译作厄米特矩阵厄米矩阵),也称伴随矩阵,是共轭对称方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭

对于

有:

,其中共轭算子

记做:

例如:

就是一个埃尔米特矩阵。

显然,埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的,其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵(实矩阵),如果它是对称阵,即所有元素关于主对角线对称,那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说,实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

性质

  • AB是埃尔米特矩阵,那么它们的和A+B也是埃尔米特矩阵;而只有在AB满足交换性(即AB = BA)时,它们的积才是埃尔米特矩阵。
  • 可逆的埃尔米特矩阵A逆矩阵A-1仍然是埃尔米特矩阵。
  • 如果A是埃尔米特矩阵,对于正整数nAn是埃尔米特矩阵。
  • 方阵C与其共轭转置的和是埃尔米特矩阵,
  • 方阵C与其共轭转置的差斜埃尔米特矩阵
  • 任意方阵C都可以用一个埃尔米特矩阵A与一个斜埃尔米特矩阵B的和表示:
  • 埃尔米特矩阵是正规矩阵,因此埃尔米特矩阵可被对角化,而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的,而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交,因此可以在这些特征向量中找出一组Cn正交基
  • n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数n2的实向量空间,因为主对角线上的元素有一个自由度,而主对角线之上的元素有两个自由度。
  • 如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数,那么这个矩阵是正定矩阵,若它们是非负的,则这个矩阵是半正定矩阵

埃尔米特序列

埃尔米特序列(亦或埃尔米特向量)指满足下列条件的序列ak(其中k = 0, 1,…, n):

n偶数,则an/2实数

实数序列的离散傅里叶变换是埃尔米特序列。反之,一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

参见

参考资料

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埃尔米特矩阵
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