For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 基数 (数学).

基数 (数学)

维基百科,自由的百科全书

各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

在日常交流中,基数量数是对应量词,例如“一颗苹果”中的“一”。与序数相对,序数是对应排列的数,例如“第一名”中的“一”及“二年级”中的“二”。

数学上,基数,即集合中包含的元素的“个数”(参见势的比较),是日常交流中基数的概念在数学上的精确化(并使之不再受限于有限情形)。有限集合的基数,其意义与日常用语中的“基数”相同,例如的基数是3。无限集合的基数,其意义在于比较两个集的大小,例如整数集和有理数集的基数相同;整数集的基数比实数集的小。

历史

阿列夫数Aleph-0,最小的无限基数
阿列夫数Aleph-0,最小的无限基数

康托尔在1874年-1884年引入最原始的集合论(现称朴素集合论)时,首次引入基数概念。 他最先考虑的是集合,它们并非相同,但有相同的基数。骤眼看来,这是显而易见,但究竟何谓两个集合有相同数目的元素?

康托尔的答案,是通过所谓的一一对应,即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到,两个集合的基数自然相同。这答案,容易理解但却是革命性的,因为用相同的方法即可比较任意集合的大小,包括无穷集合。

最先被考虑的无穷集合是自然数及其无限子集。他把所有与能一一对应的集为可数集。令康托尔意外的是,原来的所有无限子集都能与一一对应。他把的基数称为,是最小的艾礼富数

康托尔发现,原来有理数集合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初,他尝试证明是否所有无限集合均是可数,其后他得出了实数集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证,而在他1891年的论文中,他以简单而巧妙的对角论证法重新证明了这一结果。实数集的基数,记作c,代表连续统

接着康托尔构作一个比一个大的集合,得出一个比一个大的基数,而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论,需要一个新的语言描述,这就是康托尔发明集合论的主因。

康托尔随后提出连续统假设:c就是第二个超穷基数,即継之后最小的基数。现已知这假设是不能证明的,即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论

动机

在非正式使用中,基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于自然数(就是)。计数可以形式化地定义为有限基数,而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。

更正式地,一个非零的数可以用于两个目的:描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有正好大小的集合,比如3描述了在序列中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合。但是在处理无限集合的时候,在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面会引申出序数的概念,而大小则被这里描述的基数所广义化。

在基数的形式定义背后的直观想法是,可以构造一个记号来指明集合的相对大小,而不需理会它有哪些种类的成员。对于有限集合这是容易的;只需简单的数算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小,得借助更加巧妙的概念。

一个集合至少等大小于(或称大于等于)一个集合,如果有从的一个单射(一一映射)。一一映射对集合的每个元素确定了一个唯一的集合的元素。通过例子就最易理解了;假设有集合,我们可以注意到有一个映射

这是一对一的,使用上述的大小概念,我们因此总结出有大于等于的势。注意元素没有元素映射到它,但这是允许的,因为我们只要求一一映射,而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。

我们可以把这个概念扩展到一个类似于等式的关系。两个集合被称为有相同的'势',如果存在之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理,这等价于有从和从的两个一一映射。我们接着记之为 的基数自身经常被定义为有着 的最小序数。这叫做冯·诺伊曼基数指派;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数一样的势;这个陈述就是良序原理。然而即使不给集合的势指派一个名字,讨论集合之间相对的势还是可以的。

一个经典例子是无限旅馆悖论,也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满,而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2,房间2的客人转移到房间3,以此类推,腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:

...
...

在这种方式下我们可以看出集合和集合有相同的势,因为已知这两个集合之间存在双射。这便给"无限集合"提供了一个合适的定义,即是与自身某个真子集有着相同的势的任何集合;在上面的例子中的真子集。

当我们考虑这些大对象的时候,我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事实上是不一致的;通过考虑上面的例子,我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在,它必须跟起初的无限集合有一样的势。这时候可以使用另一种称为序数的形式概念,它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们会发现,势和序(ordinality)的概念对于无限的情况是有分歧的。

可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。透过对角论证法可以一目了然;跟势相关的经典问题(比如连续统假设)主要关注在某一对无限基数之间是否有别的基数。现时数学家已经在描述更大更大基数的性质。

因为基数是数学中如此常用的概念,有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。

定义

首先,给出集合,我们称的势小于等于,记作 ,当且仅当存在由单射;称的势与相等,记作 , 当且仅当存在由双射(即一一对应)。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果

假设选择公理,所有集合都可良序,且对于所有集合,有 。因此,我们可以定义序数,而 集合基数则是与等势的最小序数

(若不接受选择公理,我们也可对非良序集定义基数,就是所有与等势的集的阶中最小者。)

有限集的基数

自然数的一种定义是。可以见到,与数等势的集必有个元素。如集合的基数为

以下是有限集的三个等价定义:它与某自然数等势;它只有一个等势的序数,就是它的基数;它没有等势的真子集。

无限集的基数

最小的无限集合是自然数集。基数相同,因为可以让前一集合的与后一集合的一一对应。从这个例子可以看出,对于一个无穷集合来说,它可以和它的一个真子集有相同的基数。

以下是无限集的四个等价定义:它不与任何自然数等势;它有超过一个等势的序数;它有至少一个真子集和它等势;存在由自然数集到它的单射。

基数算术

我们可在基数上定义若干算术运算,这是对自然数运算的推广。

给出集合,定义 ,则基数和是

不相交,则

基数积是

其中笛卡儿积

基数指数是

其中是所有由函数的集合。

在有限集时,这些运算与自然数无异。一般地,它们亦有普通算术运算的性质:

  • 加法和乘法是可交换的,即
  • 加法和乘法符合结合律
  • 分配律,即

无穷集合的加法及乘法(假设选择公理)非常简单。若皆非空而其中之一为无限集,则

注意幂集之基数。由对角论证法可知,是以并不存在最大的基数。事实上,基数的真类

还有些关于指数的性质:

  • (特别地,)。
  • ,若非空。
  • ,则
  • 俱有限且大于1,而是无穷集,则
  • 若X是无穷而是有限及非空,则

基数序列及连续统假设

对每一个基数,存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是,康托尔称下一个为,相类似的,还定义了如下一个序列

注意。连续统假设猜想,就是

连续统假设是与一般集论公理(即Zermelo-Fraenkel公理系统加上选择公理)是独立的。

更一般的假设,即

广义连续统假设,就是对所有无穷基数,都不存在介乎之间的基数。

参考文献

  • Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
  • Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).

外部链接

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
基数 (数学)
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.