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基 (拓扑学)

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数学中,带有拓扑 T拓扑空间 X(base 或 basis) BT开集搜集,使得 T 中的所有开集可以被写为 B 的元素的并集[a]。我们称基“生成”了拓扑 T。基在拓扑学中有其作用,因为拓扑自身的很多性质可简化成生成拓扑的基的描述,且许多拓扑最容易依据生成它们的基来定义。

基的简单性质

基有两个重要性质:

  1. 基的元素覆盖 X。(因为XT里,而T里任一元素皆可被基覆盖)
  2. B1B2 是基的元素,并设 I 是它们的交集,则对于 I 中的每个 x,有另一个基元素 B3 包含 x 并包含在 I 中。(因为I也是开集,必可被表为B中元素之并集)

如果 X 的子集的搜集 B 不能满足任何一个条件,则它不是在 X 上任何拓扑的基(但它是准基,因为是 X 的子集的任意搜集。) 反过来说,如果 B 满足了这两个条件,则在 X 上有唯一一个 B 作为基的拓扑;它叫做 B 生成的拓扑。(这个拓扑是在 X 上包含 B 的所有拓扑的交集。) 这是定义拓扑的非常常用的方式。对 B 生成在 X 上的一个拓扑的充分但非必要条件是 B 闭合在交集下;则我们总是可以取得上述 B3 = I

例如,在实数线中的开区间的搜集形成在实数线上的拓扑的基,因为任何两个开区间的交集要么自身是开区间要么为空。事实上它们是在实数集上的标准拓扑的基。

但是,基不是唯一的。很多基甚至有不同的大小,可以生成相同的拓扑。例如,带有有理数端点的开区间们也是实数集的基,带有无理数端点的开区间们也是,但是这两个集合是完全不相交的并且都真正的包含在所有开区间的基中。对比于线性代数向量空间,基不需要是极大化的;实际上,唯一的极大的基是这个拓扑自身。事实上,在空间中由基生成的任何开集都可以安全的增加到基中而不会改变拓扑。基的最小的可能的叫做拓扑空间的重量

不是基的开集搜集的一个例子是所有形如 (−∞, a) 和 (a, ∞) 的半-无限区间的集合 S,这里的 a 是实数。S 不是在 R 上的任何集合的基。要证明之,假设它是。那么例如,(−∞, 1) 和 (0, ∞) 作为一个单一基元素的并集,将在 S 生成拓扑中,并且因此它们的交集 (0,1) 也应该出现。但是 (0, 1) 明显不能写为 S 的元素的并集。使用可替代的定义,第二个性质失败,因为没有基元素可以容入这个交集内。

给定拓扑的一个基,要证明网或序列的收敛,在包含假定极限的所有基中的集合中最终证明它就是充分的。

依据基定义的对象

定理

  • 对于在开集 U 中每个点 x,有一个基的元素包含 x 并被包含在 U 中。
  • 拓扑 T2 于拓扑 T1当且仅当对于每个 x 和包含 x 的每个 T1 的基元素 B,有一个 T2 的基元素包含 x 并被包含在 B 中。
  • 如果 B1,B2,...,Bn 是拓扑 T1,T2,...,Tn 的基,则集合积 B1 × B2 × ... × Bn乘积拓扑 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在无限乘积的情况下这仍适用,除了出现有限多个基元素之外全部都必须是整个空间之外。
  • BX 的基并设 YX子空间。那么如果我们交 B 的每个元素于 Y,结果的集合的搜集是子空间 Y 的基。
  • 如果函数 f:XY 映射 X 的所有基元素到 Y 的一个开集,它是一个开映射。类似的,如果 Y 的一个基元素的所有原像在 X 中是开集,则 f连续函数
  • X 的子集的搜集是 X 上的拓扑当且仅当它生成自身。
  • B 是拓扑空间 X 的基,当且仅当 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基,对于 X 的任何点 x

闭集基

闭集同样擅长描述空间的拓扑。因为有对于拓扑空间的闭集的对偶的基的概念。给定一个拓扑空间 XX闭集基是闭集的集合族 F 使得任何闭集 AF 的元素的交集

等价的说,闭集族形成了闭集基,如果对于每个闭集 A 和每个不在 A 中的点 x,存在一个 F 的元素包含 A 但不包含 x

容易检查 FX 的闭集基,当且仅当 F 的成员的补集的集合族是 X 的开集基。

FX 的闭集基。则

  1. F = ∅
  2. 对于每个 F1F2F 中,并集 F1F2F 的某个子族的交集(就是说,对于任何不在 F1F2x,存在一个 F3F 包含 F1F2 并不包含 x)。

满足这些条件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓扑的闭集基。这个拓扑的闭集完全就是 F 的成员的交集。

在某些情况下,更习惯使用闭集基而非开集基。例如,一个空间是完全正规空间,当且仅当它的零集形成了闭集基。给定任何拓扑空间 X,零集形成在 X 上某个拓扑的闭集基。这个拓扑将是 X上比最初的要粗的最细的完全正规拓扑。在类似的脉络下,在 An 上的 Zariski拓扑被定义为选取多项式函数的零集作为闭集基。

准基

若拓扑空间是最小的拓扑使得的子集的集都是的开集,则称的一个准基(subbasis/subbase)。另一等价的定义为,若及其所有有限交集构成了拓扑空间之基,则准基

例子:

  • 实数线上,所有长度为1的开区间便是一个准基。

J.W. 亚历山大证明了:若每个准基覆盖都有一个有限个元素的子覆盖,则此空间是紧致的。

注释

  1. ^ 在这里我们约定空搜集之并集仍为空集。

参考文献

  • James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
  • Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.
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