外测度
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在数学中,特别是测度论中,外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数,并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进,目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上(例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理)。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量,现在称为豪斯多夫维数。
从长度,面积及体积归纳出来的测度概念,对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数,使其满足以下4个条件:
- 任意实数区间 有测度;
- 测度函数 是非负扩展实数值函数,定义在的所有子集合上;
- 平移不变性:任给集合和实数,与 有相同的测度(这里,);
- 可数可加律:对的任意的两两无交的子集序列,有:
- 。
事实上,这几条要求是不相容的。这样的测度函数 不能定义在的所有子集上,也就是说,不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合,使得可数可加性得到满足。