外自同构群 - Wikiwand
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外自同构群

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抽象代数群论中,G外自同构群Out(G)是自同构群Aut(G)对内自同构群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。

G的一个自同构如不是内自同构,便称为外自同构。外自同构群Out(G)的元素是G的内自同构子群Inn(G)在自同构群Aut(G)中的陪集,故其元素不是外自同构,同一元素可对应到某个外自同构和任何内自同构的复合,因此不能定义G的外自同构群于G上的作用。不过因为内自同构都将群G的元素映射到同共轭类的元素,所以可定义出外自同构群在G共轭类上的作用。

然而,若G阿贝尔群,则G内自同构群是平凡群,于是Out(G)可以自然地等同于Aut(G),即是Out(G)的每个元素都对应唯一的自同构,因此Out(G)可以作用于G上。(而这时G的共轭类也各仅有一个元素。)

一些有限群的外自同构群

G Out(G)
2
n > 2) 欧拉函数
p素数n > 1)
对称群n ≠ 6) 平凡群 1
2
交错群n ≠ 6) 2
4

与中心对偶

G的外自同构群,在下述意义下可以视为对偶于G中心Z(G):G的元素g所对应的共轭作用是自同构,由此得映射。这映射是群同态G的中心,而余核G的外自同构群(因这映射的G的内自同构群)。这关系可用正合列表示:

如果一个群只有平凡外自构群和平凡中心,即群同构时,称之为完备群

有限单群的外自同构群

施赖埃尔猜想指任何有限单群的外自同构群,都是可解的。按照有限单群分类去逐一检验,这项猜想已得证,但至今未有直接证明。

参考

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外自同构群
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