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奇函数与偶函数

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数学里,偶函数奇函数是满足着相对于加法逆元之特定对称关系的函数。这在数学分析的许多领域中都很重要,特别是在幂级数傅里叶级数的理论里。其命名是因为幂函数的幂的奇偶性满足下列条件:若n为一偶数,则函数是偶函数,若为一奇数,则为奇函数。

偶函数

f(x) = x2,偶函数的一个例子
f(x) = x2,偶函数的一个例子

f(x)为一实变量值函数,则偶函数若下列的方程对所有在定义域内的都成立:[1]

几何上,一个偶函数会对y对称,亦即其在对y轴为镜射后不会改变。

偶函数的例子有|x|、x2x4cos(x)和cosh(x)。

偶函数不可能是个双射映射

奇函数

f(x) = x,奇函数的一个例子
f(x) = x,奇函数的一个例子

再次地,设为一个实变量值函数,则奇函数若下列的方程对所有在f定义域内的都成立:[2]

几何上,一个奇函数对原点对称,亦即其在绕原点做180旋转后不会改变。

奇函数的例子有sin(x)、sinh(x)和erf(x)。

基本特性

注意:一个函数为奇函数或偶函数不表示其为可微的,或即使为连续的。其包含在傅里叶级数、泰勒级数、导数等之性质都只在假设其存在时才被使用。

  • 唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有)。
  • 通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数;如
  • 两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。(偶+偶=偶 n×偶=偶)
  • 两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。(奇+奇=奇 n×奇=奇)
  • 两个偶函数的乘积为一个偶函数。(偶×偶=偶)
  • 两个奇函数的乘积为一个偶函数。(奇×奇=偶)
  • 一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。(偶×奇=奇)
  • 两个偶函数的(除数不得为0)为一个偶函数。(偶÷偶=偶)
  • 两个奇函数的商(除数不得为0)为一个偶函数。(奇÷奇=偶)
  • 一个偶函数和一个奇函数的商(除数不得为0)为一个奇函数。(偶÷奇=奇 奇÷偶=奇)
  • 一个偶函数的导数为一个奇函数。(偶'=奇)
  • 一个奇函数的导数为一个偶函数。(奇'=偶)
  • 两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数。
  • 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数。

级数

代数结构

  • 偶函数的任何线性组合皆为偶函数,且偶函数会形成一个实数上的向量空间。相似地,奇函数的任何线性组合皆为奇函数,且奇函数亦会形成一个实数上的向量空间。实际上,“所有”实值函数之向量空间为偶函数和奇函数之子空间直和。换句话说,每个定义域关于原点对称的函数都可以被唯一地写成一个偶函数和一个奇函数的相加:
  • 偶函数会形成一个实数上的可交换代数,但奇函数则不会形成任何一个在实数上的代数。

谐波

信号处理里,谐波失真会产生于当一个正弦波信号被一非线性传递函数放大的时候。其谐波的类型会因传递函数的不同而不同:[3][4]

  • 当传递函数为偶函数,其输出信号会只包括输入正弦波的偶谐波;
    • 基频亦为一个奇谐汲,故将不会出现在输出信号里。
    • 一个简单的例子为全波整流器
  • 当传递函数为奇函数时,其输出信号会只包括输入正弦波的奇谐波;
  • 当传递函数为不对称时,其输出信号会包括偶谐波或奇谐波;
    • 一个简单的例子为在一个不对称A类放大器内的截波。

参考文献

引用

  1. ^ Gelfand 2002, p. 11
  2. ^ Gelfand 2002, p. 72
  3. ^ Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics
  4. ^ Berners, Dave. Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics. UA WebZine. Universal Audio. October 2005 [2016-09-22]. To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output. 

来源

书籍

参见

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