完备化 (环论) - Wikiwand
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完备化 (环论)

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交换代数中,可以探讨一个交换环 本身,或一个 -模对一理想 的完备性。由于完备环有较容易处理的性质,完备化是研究交换环的基本工具。

几何上,交换环的完备化对应到一个闭子概形的形式邻域。

I-进拓扑

对于一个交换环 及其理想 (通常取为极大理想),可以借着取 为零元的开邻域,赋予 相应的拓扑结构,使之成为对加法的拓扑群。这种拓扑称为 -进拓扑

对于一个 -模 ,同样可考虑零元的开邻域 ,由此得到 上的 -进拓扑。

完备化及其性质

完备化定义为射影极限

正如其名, 对其 -进拓扑是完备的。对于固定的 是从 -模范畴(态射为模同态)到 -进拓扑 -模(态射为连续同态)的函子;透过自然同态 ,它是与之反向的遗忘函子的左伴随函子,因而是右正合的。

对于诺特环平坦-模。此时,对任何有限生成 -模 ,自然态射 是个同构。综上所述,对于诺特环 上的有限生成 -模,完备化是个正合函子

此外,完备化也可以用柯西序列构造,得到的对象是自然同构的。

例子

  • p进整数 的完备化。
  • 形式幂级数环 是多项式环 的完备化。

文献

  • David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6
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