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完全数

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以古氏积木演示完全数6
古氏积木演示完全数6

完全数Perfect number),又称完美数完备数,是一些特殊的自然数:它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等于它本身,完全数不可能是楔形数平方数佩尔数费波那契数

例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,,恰好等于本身。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,,也恰好等于本身。后面的数是4968128

十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数,它们不是亏数就是盈数

完全数的发现

古希腊数学家欧几里得是通过 的表达式发现前四个完全数的。

一个偶数是完美数,当且仅当它具有如下形式:,其中是素数,此事实的充分性由欧几里得证明,而必要性则由欧拉所证明。

比如,上面的对应着的情况。我们只要找到了一个形如素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是的形式,其中是素数。

首十个完全数是(OEISA000396):

  1. 6(1位)
  2. 28(2位)
  3. 496(3位)
  4. 8128(4位)
  5. 33550336(8位)
  6. 8589869056(10位)
  7. 137438691328(12位)
  8. 2305843008139952128(19位)
  9. 2658455991569831744654692615953842176(37位)
  10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位)

历史

古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设,大部分都是错误的。其中的一个假设是:因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数,第 5 个完全数应该是第 5 个素数,即当 的时候,可是 并不是素数。因此 不是完全数。另外两个错误假设是:

  • 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数,第五个应该是 5 位数。
  • 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上,第五个完全数 位数。

对于第二个假设,第五个完全数确实是以 结尾,但是第六个完全数 仍是以 结尾,应该说完全数只有以 结尾才对。

对完全数的研究,至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数;反之,每个偶完全数给出一个梅森素数,这结果称为欧几里得-欧拉定理。到 2018 年 12 月为止,共发现了 51 个完全数,且都是偶数。最大的已知完全数为 共有 位数。

性质

以下是目前已发现的完全数共有的性质。



  • 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和,从




  • 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和[注 2]




  • 除6以外的偶完全数,还可以表示成连续奇立方数之和(被加的项共有)[注 3]




  • 每个完全数的所有约数(包括本身)的倒数之和,都等于2:(这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。)


  • 它们的二进制表达式也很有趣:(因为偶完全数形式均如







奇完全数

未解决的数学问题奇完全数存在吗?

用计算机已经证实:在101500以下,没有奇完全数;至今还证明了,如果奇完全数存在,则它至少包含11个不同素数(包含一个不少于7位数的素因子)但不包含3,亦不会是立方数。一般猜测:奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限?至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。[2]

奇完全数的部分条件

  • N > 101500,2012年公布的结果。
  • N是以下形式:
其中:
  • qp1,…,pk是不同的素数(Euler)。
  • q ≡ α ≡ 1 (mod 4)(Euler)。
  • N的最小素因子必须小于(2k + 8) / 3(Grün 1952)。
  • ...≡ ≡ 1(mod 3)的关系不能满足(McDaniel 1970)。
  • 要么qα > 1062,要么对于某个j > 1062(Cohen 1987)。
  • (Nielsen 2003)。
  • N必须可以写成12n+1,468n+117或324n+81(n为整数)的形式。[1]
  • N不能被105整除。[3]
  • N的最大素因子必须大于108(Takeshi Goto和Yasuo Ohno,2006)。
  • N的第二大素因子必须大于104(Iannucci 1999,2000)。
  • N的第三大素因子必须大于100。[4]
  • N的第四大素因子必须大于10。[来源请求][查证请求][来源请求][原创研究?]
  • N至少要有75个素因子,其中至少9个是不同的。如果3不是素因子之一,则至少要有12个不同的素因子。(Nielsen 2006;Kevin Hare 2005)。
  • 如果对于所有的i,都有 ≤ 2,那么:
    • N的最小素因子必须大于739(Cohen 1987)。
    • α ≡ 1(mod 12)或α ≡ 9 (mod 12)(McDaniel 1970)。

Touchard定理

这个定理说明若存在奇完全数,其形式必如。最初的证明在1953年由Jacques Touchard首先证明,1951年van der Pol用非线性偏微分方程得出证明。Judy A. Holdener在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。

证明会使用这四个结果:(下面的n,k,j,m,q均为正整数)

  • 欧拉证明了奇完全数的形式必如[5]
  • 表示的正约数之和。完全数的定义即为
    积性函数
  • 引理(甲):若是正整数),则非完全数。
  • 引理(乙):若是正整数),则非完全数。

引理的证明(甲):

使用反证法,设为完全数,且

。因为3的二次剩余只有0,1,故非平方数,因此其正约数个数为偶数。

有正约数,则可得:

;或

因此,。故

,矛盾。

的形式只可能为

引理的证明(乙):

使用反证法,设为完全数,且

。因为4的二次剩余只有0,1,故非平方数,因此其正约数个数为偶数。

有正约数,则可得:

;或

因此,。故

,矛盾。

的形式只可能为


,根据欧拉的结果,,综合两者,得

,得。若3倍数,3和互素。

因为为积性函数,可得

,出现了矛盾。故知3倍数。代入,可得

参考

注释

  1. ^ 亦即,除了6以外的偶完全数,被9除都余1。
  2. ^ 亦即,每个偶完全数都是三角形数
  3. ^ 这是因为

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Roberts, T. On the Form of an Odd Perfect Number (PDF). Australian Mathematical Gazette. 2008, 35 (4): 244. 
  2. ^ 存档副本. [2006-07-26]. (原始内容存档于2006-12-29). 
  3. ^ Kühnel, Ullrich. Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift. 1950, 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691 (德语). 
  4. ^ Iannucci, DE. The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred (PDF). Mathematics of Computation. 2000, 69 (230): 867–879 [30 March 2011]. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. 
  5. ^ [1][永久失效链接]

参见

外部链接

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