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定义域着色

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函数 .mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}f(x) = (x2 − 1)(x − 2 − i)2/x2 + 2 + 2i的定义域着色函数图形。 色调表示其函数值的辐角,而饱和度和明度表示其函数值的绝对值,这种上色方式又称为色相环法。
函数 f(x) = (x2 − 1)(x − 2 − i)2/x2 + 2 + 2i的定义域着色函数图形。 色调表示其函数值的辐角,而饱和度和明度表示其函数值的绝对值,这种上色方式又称为色相环法
函数 f(x) = (x2 − 1)(x − 2 − i)2/x2 + 2 + 2i的另一种定义域着色函数图形。 以上色网格和等值线的方式来呈现。
函数 f(x) = (x2 − 1)(x − 2 − i)2/x2 + 2 + 2i的另一种定义域着色函数图形。 以上色网格和等值线的方式来呈现

复分析中,定义域着色是一种可以将复变函数可视化的一个资讯视觉化技术,是借由在定义域上以色彩表示其函数值来表达函数图形的方法,故称为“定义域”着色。“定义域着色”一词由法兰克·菲莉丝(英语:Frank Farris)在1998年左右时命名[1][2]。其上色方法有很多种,最常见的是色相环复变函数图形,以其辐角值对应色相的颜色来上色,亦有使用其他色彩空间作为上色依据的定义域着色的复变函数图形。早期有许多做法是将其辐角相位利用对应色相颜色以等值线的方式来呈现资料[3]。 1999年,乔治·艾柏德和保罗·戈弗雷则使用了连续的颜色将点从定义域映射到值域或像平面[4],而在1997年以前,道格拉斯·阿诺德英语Douglas N. Arnold是使用着色的网格来呈现复变函数[5]。威葛特·伊里亚斯也在其教科书详细的介绍了一种定义域着色的一种变体——相位图[6]

动机

维度不够

实数值函数英语Real-valued function f : ℝ → ℝ (例如 f(x) = x2) 可以被 绘制二维平面直角坐标系[7]

复数值函数英语Complex-valued function g : ℂ → ℂ 虽然只有一个变数,但是因为是复数,因此需要使用复数高斯平面才能呈现。高斯平面是一个二维的空间,而要表示的定义域和值域也都是复数,因此各需要2个维度,因此要完全呈现复变函数图形需要使用四维空间才能呈现,这使得复变函数难以在三维空间中可视化。有一种描述全纯函数的方式是使用黎曼曲面[8]

复数可视化的模式

给定一个复数,其可以被表示为形式,也可以表示成,其辐角是一个角度值,可以使用有周期性的资料表示,例如颜色的色调,其模可由强度或强度变化表示。色调的排列是任意的,但通常会以色相环的色调为主,例如色相环复变函数图形[9][10]。有时复数的辐角会由特定的梯度表示,而不使用色调表示。

绘制方法

定义域着色有很多种呈现方式,例如以等值线或网格上色[5],也有使用连续颜色上色。

下图显示了正弦函数w = sin z[11],实轴从−2π到2π、虚轴从−1.5到1.5。

参见

参考文献

  1. ^ Frank A. Farris, Visualizing complex-valued functions in the plane 页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ Hans Lundmark. Visualizing complex analytic functions using domain coloring. 2004 [2006-05-25]. (原始内容存档于2006-05-02).  Ludmark refers to Farris' coining the term "domain coloring" in this 2004 article.
  3. ^ David A. Rabenhorst. A Color Gallery of Complex Functions. Pixel: the magazine of scientific visualization (Pixel Communications). 1990, 1 (4): 42 et seq. 
  4. ^ George Abdo & Paul Godfrey. Plotting functions of a complex variable: Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring. 1999 [2008-05-17]. (原始内容存档于2008-05-11). 
  5. ^ 5.0 5.1 Douglas N. Arnold. Graphics for complex analysis. 2008 [2008-05-17]. (原始内容存档于2008-05-15). 
  6. ^ Elias Wegert. Visual Complex Functions - An Introduction with Phase Portraits. Springer Basel. 2012 [6 January 2016]. ISBN 9783034801799. (原始内容存档于2017-01-17). 
  7. ^ 埃里克·韦斯坦因. Real Function. MathWorld. 
  8. ^ Siegel, Carl Ludwig, Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen. II. Mathematisch-Physikalische Klasse, 1955, 1955: 71–77, ISSN 0065-5295, MR 0074061 
  9. ^ Color Graphs of Complex Functions. 美利坚大学. [2017-03-17]. (原始内容存档于2012-05-11). 
  10. ^ Color wheel method. 塞格德大学英语University of Szeged数学系. 2005-10-22 [2017-03-17]. (原始内容存档于2007-01-01). 
  11. ^ 埃里克·韦斯坦因. Sine. MathWorld. 
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