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实变函数论

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方波的傅立叶级数的前四项。傅立叶级数是实分析的一项重要工具
方波傅立叶级数的前四项。傅立叶级数是实分析的一项重要工具

实分析(英语:real analysis,也称作实变函数论,英语:theory of real variable function)或实数分析是处理实数及实函数的数学分析。专门实数函数数列的解析特性,包括实数数列的极限,实函数的微分积分连续性光滑性以及其他相关性质。

实分析常以基础集合论,函数概念定义等等开始。

内容

实数的构造

有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理,将实数变成完备有序。在一般集合论的公理下,可以证明这些公理都是明确的,也就是说有一个公理的模型,任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义,而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。

实数的有序性

实数有许多重要的特性是和数学中的定义有关,这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是,实数形成有序域,实数的有序满足反对称性、传递性及完全性,属于全序关系,而且实数有最小上限属性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理,例如单调收敛定理介值定理中值定理

在实变分析中这些定理只针对实数,不过许多的结果可以应用在其他的数学对象英语mathematical object。特别是许多泛函分析算子理论英语operator theory中的概念是来自实数中概念的扩展,这类的扩展包括里斯空间英语Riesz space正算子英语positive operator的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部,例如算子数列的逐点评估英语strong operator topology

序列

序列是一个定义域可数全序集合的函数,多半会让定义域是自然数或是所有整数[1]。例如,一个实数的序列为以下定义的映射,常会表示为。若一序列会慢慢的接近一个极限(也就是存在 ),称此序列为收敛,否则则称此序列为发散

极限

极限是指函数序列在其输入接近一定值时,其输出数值所接近的特定定值[2]。极限是微积分学及广义数学分析的基础,连续函数导数积分也是利用极限来定义。

连续函数

函数的输入及输出值都是实数,可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说,若函数图形是一条连续未分割的曲线,其中没有“洞”或是“断点”,函数即为连续函数。

针对上述粗略的定义,在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的,因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续,在以下的定义中

是一个定义在实数以内子集的函数,子集I称为函数f的定义域。子集I的一些可能选择包括(所有实数)、以下的开区间

闭区间

因此是实数。

一致连续是连续函数中,比连续函数更强的性质。若XY实数子集,函数一致连续的条件是针对所有大于0的实数,存在一实数,使得针对所有的即表示

一致连续和每一点连续的差异在一致连续时,值只和值有关,和该值在定义域中的位置无关。一般情况下,连续不意味着均匀连续。

级数

给定一无穷序列 ,即可定义相关的级数为,有时会简称为。级数的部分和。级数收敛的条件是部分和的数列收敛,否则级数即称为发散。收敛级数的和定义为.

等比数列的和就是一个收敛级数,也是芝诺悖论的基础:

.

以下的调和级数即为发散级数:

.

(此处不是严谨的表示方式,只是表示部分和会无限制的成长)

微分

函数位置的导数为以下的函数极限

若导数在所有位置都存在,称函数为可微分,可以再继续计算函数的高阶导数。

也可以将函数依其微分分类来区分。分类包括所有连续函数,分类包括所有导数连续的可微函数,这类函数称为“连续可微”。分类是指其导数在分类中的函数。一般来说,分类可以用递归方式定义,定义方式是宣告分类是所有的连续函数,而分类为正整数)是所有可微,而且其导数为的函数。而分类包括在分类中,对所有的正整数都成立。分类是所有的交集,其中为所有的非负整数。包括所有的解析函数,是分类的严格子集。

积分

黎曼积分

黎曼积分定义函数的黎曼和,对应为一个区间内的标记分区(tagged partitions)。令为实数下的封闭区间,则在区间内的标记分区为有限数列

将区间分隔为个下标为子区间,每一个用不同的点来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为

则和的每一项都是长方形的面积,其高为函数在给定子区间内,标示点的数值,宽和子区间的宽相等。令为子区间的宽,则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度。函数在区间内的黎曼积分等于若:

对所有,存在使得,对于任何有标示,且网格小于的区间,以下的式子成立

若选定的标示都是每个区间内函数的最大值(或最小值),黎曼积分就会成为上(或下)达布和,因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。

勒贝格积分

勒贝格积分是一种积分概念,可以将积分延伸到更大范围的函数,同时也拓展函数的定义域

分布

分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分(例如单位阶跃函数)。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。

和复变分析的关系

实变函数论是数学分析的一部分,探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数积分。实变分析专注在实数,多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中,很自然的会对全纯函数定义导数,全纯函数有许多有用的性质,包括多次可微、可以用幂级数表示,而且满足柯西积分公式

实变分析中也很自然的去考虑可微光滑函数调和函数,这些也常常用到,不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。

复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析,例如应用留数定理来计算实变函数的定积分

重要结果

实分析的重要结果包括波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理海涅-博雷尔定理介值定理中值定理微积分基本定理单调收敛定理

实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间,包括巴拿赫空间希尔伯特空间

相关条目

参考资料

  1. ^ Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2. 
  2. ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5. 
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