实射影平面
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在数学中,实射影平面(英语:Real projective plane)是R3中所有过原点直线组成的空间,通常记作,无歧义时也记为。这是一个不可定向、紧致、无边界二维流形(即一个曲面),它在几何中有基本的应用,但不能无自交地嵌入我们通常的三维欧几里得空间。它的亏格是1,故欧拉示性数也为1。
射影平面的基本多边形。 |
莫比乌斯带只有一条边,将相对开边反向黏合起来便成为闭合的射影平面。 |
对照克莱因瓶,是莫比乌斯带相对开边同向黏合。 |
实射影平面有时描述为基于莫比乌斯带的构造:如果能把莫比乌斯带的(一条)边以恰当的方向黏合,将得到射影平面。等价地,沿着莫比乌斯带的边界黏合一个圆盘给出射影平面。
由于莫比乌斯带可构造为将正方形的一组对边反向黏合,从而实射影平面可以表示为单位正方形([0,1] × [0,1])将它的边界通过如下等价关系等同:
- (0, y) ~ (1, 1 − y) 对0 ≤ y ≤ 1 ,
以及
- (x, 0) ~ (1 − x, 1) 对0 ≤ x ≤ 1,
即如右图所示。因为正方形同构于圆盘,故这也等价于将圆盘边界的对径点黏合。