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密度矩阵

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从白炽灯(1)发射出的光子处于完全随机偏振混合态(2),密度矩阵为
  
    
      
        
          
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    {\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix))}
  
 。通过垂直平面偏振器(3)之后,光子处于垂直偏振纯态(4),密度矩阵为
  
    
      
        
          
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    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix))}
  
 。
白炽灯(1)发射出的光子处于完全随机偏振混合态(2),密度矩阵为

通过垂直平面偏振器(3)之后,光子处于垂直偏振纯态(4),密度矩阵为

量子力学里,密度算符(density operator)与其对应的密度矩阵(density matrix)专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态矢量 来描述的量子态,混合态则是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态 、……的概率分别为 、……,则这混合态量子系统的密度算符

注意到所有概率的总和为1:

假设 是一组规范正交基,则对应于密度算符的密度矩阵 ,其每一个元素

对于这量子系统,可观察量 期望值

是可观察量 对于每一个纯态的期望值 乘以其权值 后的总和。

混合态量子系统出现的案例包括,处于热力学平衡化学平衡的系统、制备历史不确定或随机变化的系统(因此不知道到底系统处于哪个纯态)。假设量子系统处于由几个纠缠在一起的子系统所组成的纯态,则虽然整个系统处于纯态,每一个子系统仍旧可能处于混合态。在量子退相干理论里,密度算符是重要理论工具。

密度算符是一种线性算符,是自伴算符、非负算符(nonnegative operator)、迹数为1的算符。关于密度算符的数学形式论是由约翰·冯·诺伊曼列夫·郎道各自独立于1927年给出。[1][2]:48-55[3]

纯态与混合态

假设一个量子系统的量子态是纯态,则这量子态可以用态矢量表示为 。几种纯态依照概率组成的量子态称为混合态。例如,假设一个量子系统处于纯态 的概率都为50%,则这量子系统处于混合态。密度矩阵专门用来表示混合态。任何量子态,不管是纯态,还是混合态,都可以用密度矩阵表示。

混合态与叠加态的概念不同,几种纯态通过量子叠加所组成的叠加态仍旧是纯态。例如, 是个纯态。

光子偏振案例

平面偏振
圆偏振
椭圆偏振
平面偏振(紫色)光波的电场(蓝色)可以分解为两个相互垂直的分量(红色与绿色)。

光子的两种圆偏振态,右旋圆偏振态与左旋圆偏振态,分别以态矢量 标记。光子也可能处于叠加态,例如,垂直偏振态与水平偏振态分别为 。更一般地,光子偏振所处于的叠加态可以表示为 ;其中, 是系数。这一般式可以表示平面偏振态、圆偏振态、椭圆偏振态等等。

假若让处于叠加态 的光子通过左旋圆偏振器,则出射的光子处于左旋圆偏振态 ;假若通过右旋圆偏振器,则出射的光子处于右旋圆偏振态 。对于这两种圆偏振模,光子强度都会减半,貌似意味着叠加态 的一半光子处于量子态 ,另一半处于量子态 ,但这种解释并不正确,处于量子态 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收,但是处于量子态 的光子不会被垂直平面偏振器吸收。

白炽灯发射出的光子是一种非偏振态光子,不能用叠加态 来描述。特别而言,与平面偏振态光子不同,它通过任何偏振器后都会失去50%强度,与圆偏振态光子不同,使用波片(waveplate)不能直接将它改变为平面偏振态光子。非偏振态光子可以描述为,处于 的概率是50%,处于 的概率是50%。它也可以描述为,处于垂值偏振态的概率是50%,处于水平偏振态的概率是50%。

非偏振态光子的量子态不是纯态,而是由几种纯态依照统计概率组成。它可以由50%右旋圆偏振态与50%左旋圆偏振态组成,或者,它可以由50%垂直偏振态与50%水平偏振态组成。这两种组合无法做实验辨识区分,因此它们被视为同样的混合态。密度算符含有混合态的所有资料,足够计算任何关于混合态的可测量性质。

混合态到底源自何处?试想非偏振态光子是怎样制成的。一种方法是利用处于动力学平衡的系统,这系统拥有很多个微观态(microstate),伴随每一个微观态都有其发生的概率(玻尔兹曼因子),它们会因热力学涨落(thermal fluctuation)从一个微观态变换到另一个微观态。热力学随机性可以解释白炽灯怎样发射非偏振光子。另一种方法是引入不确定性于系统的制备程序,例如,将光束通过表面粗糙的双折射晶体,使得光束的不同部分获得不同偏振。第三种方法应用EPR机制,有些放射性衰变会发射两个光子朝着反方向移动离开,这纠缠系统的量子态为 ,整个系统是处于纯态,但是每一个光子子系统的物理行为如同非偏振态光子,从分析光子子系统的约化密度算符,可以得到这结论。

一般而言,混合态时常会出现于几种纯态的统计性混合(例如热力学平衡)、制备程序的不确定性(例如光子可能移动于稍微不同路径)、包含在纠缠系统内的子系统(例如EPR机制)。

数学表述

纯态

假设一个量子系统的量子态是纯态,则这量子态可以用态矢量表示为 ,对应的密度算符定义为[4]:309-313

从密度算符的形式,可以推论密度算符是自伴算符

假设,物理量 是这量子系统的可观察量,其本征值本征态 形成一个规范正交基 ,则对可观察量 做测量得到 的概率 [5]:96-99

其中, 是对应于本征态 投影算符[注 1]迹数

做实验测量可观察量 获得的期望值

这种可观察量的期望值与迹数运算之间的关系称为迹定则(trace rule)。[6]:36对于不同的规范正交基,迹数是个不变量。采用任何规范正交基,都可以计算出同样迹数。[注 2]另外,概率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性,这是很优良的性质,这意味着概率公式与期望值公式也适用于几个密度算符的线性组合。

由于 被归一化, 密度算符的迹数为1:

对于任意归一化量子态

所以,密度算符是非负算符(nonnegative operator)。

混合态

将先前纯态密度算符的定义式加以延伸,假设在一个量子系统处于纯态 、……的概率分别为 、……,则这混合态量子系统的密度算符 [4]:311-313

每一个概率都是非负实值,所有概率的总和为1:

按照“无知诠释”,这种量子系统确定是处于某个纯态,但是无法知道到底是哪一个纯态。这种可以用无知诠释来论述的量子系统称为“真混合物”(proper mixture),否则,称为“瑕混合物”(improper mixture)。[7][注 3]

回想在纯态段落里,概率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性,这意味着对于混合态的密度算符,这些公式也都适用。加以延伸后的密度算符,也具有先前纯态的密度算符所拥有的性质:

  • 密度算符是自伴算符:
  • 密度算符的迹数为1:
  • 对可观察量 做测量得到 的概率为
  • 做实验测量可观察量 获得的期望值
  • 密度算符是非负算符:

由于密度算符 是自伴算符,它具有谱表示

其中,本征值本征态,所有 形成一个规范正交基

按照自伴算符的定义,每一个本征值 是它自己的共轭:

由于密度算符 是非负算符,每一个本征值 都是非负值。

由于密度算符 的迹数为1,

给定一个量子系统,其所有可能的密度算符组成一个凸集。假设 属于这凸集,则 也属于这凸集;其中, 是系数,[2]:51

用密度算符辨认纯态与混合态

由于纯态的密度算符定义式为[4]:311-313

所以纯态的密度算符具有特征

否则,非纯态的密度算符遵守关系式

另外,将纯态的密度矩阵 对角化后,只能有一个对角元素等于1,其它对角元素都等于0,例如,一种形式为[8]:178-183

量子态的纯度英语purity (quantum mechanics) 定义为

纯态的纯度为1。处于N维希尔伯特空间、完全混合的混合态,其对角元素的数值为 、非对角元素的数值为0,其纯度为[6]:40-41

冯诺伊曼熵是另一种描述量子态混合程度的量度。

连续性本征态基底

位置是一种连续性可观察量,具有连续性本征值谱,用这种可观察量的连续性本征态为基底,密度矩阵 含有两个位置参数 [8]:186

可观察量 的期望值为

复合系统

假设密度算符为 的复合系统是由两个子系统 组成,这两个子系统的物理行为分别由其对应约化密度算符(reduced density operator) 描述:[4]:120-125,128-129[注 3]

其中, 分别是对于子系统偏迹数(partial trace)。

这复合系统的两个子系统之间没有任何关联(没有任何量子关联或经典关联),当且仅当 张量积

约化密度算符

约化密度算符的点子最先由保罗·狄拉克于1930年提出[9]。假设两个希尔伯特空间规范正交基分别为,分别在这两个希尔伯特空间的两个子系统所组成的复合系统,其量子态为纯态,其密度算符

取密度算符对于子系统偏迹数,可以得到子系统的约化密度算符

例如,纠缠态,其子系统的约化密度算符

如同预想,这公式演示出,子系统的约化密度算符为混合态。

范例

设定施特恩-格拉赫实验仪器的磁场方向为z-轴,入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束,每一道银原子束代表一种量子态,上旋
  
    
      
        
          |
        
        ↑
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\uparrow \rangle }
  
或下旋
  
    
      
        
          |
        
        ↓
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\downarrow \rangle }
  
。
设定施特恩-格拉赫实验仪器的磁场方向为z-轴,入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束,每一道银原子束代表一种量子态,上旋或下旋

如右图所示,使用z-轴方向的施特恩-格拉赫实验仪器,可以将入射的银原子束,依照自旋的z-分量 分裂成两道,一道的 为上旋,标记为 ,另一道的 为下旋,标记为

z-轴方向

  • 态矢量:
密度矩阵:
  • 态矢量:
密度矩阵:

x-轴方向

  • 态矢量:
密度矩阵:
  • 态矢量:
密度矩阵:

y-轴方向

  • 态矢量:
密度矩阵:
  • 态矢量:
密度矩阵:

完全随机粒子束

完全随机粒子束的量子态不是纯态,它可以由50% 纯态与50% 纯态组成:

它也可以由50% 纯态与50% 纯态组成:

另外,它还可以由50% 纯态与50% 纯态组成,因此可见,不同的组合仍可得到同样的混合态。

一般而言,完全随机粒子束的 密度矩阵 ,经过对角化之后,可以写为[8]:186

冯诺伊曼方程

薛定谔方程描述纯态怎样随着时间流逝而演化,冯诺伊曼方程描述密度算符怎样随着时间流逝而演化。实际而言,这两种方程等价,因为它们彼此都可以推导出对方。假设,在时间 ,量子系统的密度算符为

其中,量子系统在时间 处于纯态 的概率是

假若不搅扰这量子系统,则概率 跟时间无关。在时间 ,纯态 遵守含时薛定谔方程

其中, 是约化普朗克常数,哈密顿算符

所以,冯诺伊曼方程表示为[10][11]

其中,方括弧代表对易算符

注意到只有当采用薛定谔绘景时(必须采用薛定谔绘景来计算密度算符)这方程才成立,虽然这方程看起来很像海森堡绘景海森堡方程,唯一差别是关键的正负号:

其中, 是某种采用海森堡绘景的算符。

在海森堡绘景里,密度算符与时间无关,正负号差别确使期望值 对于时间的导数会得到与薛定谔绘景相同的结果。[注 4]

假若哈密顿算符不含时,则可从冯诺伊曼方程推导出

冯诺伊曼熵

对于两体纯态系统,冯诺伊曼熵 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 (竖轴)与本征值 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i))
  
 (横轴)之间的关系曲线。
对于两体纯态系统,冯诺伊曼熵 (竖轴)与本征值 (横轴)之间的关系曲线。

在量子统计力学(quantum statistical mechanics)里,冯诺伊曼熵(von Neumann entropy)是经典统计力学关于概念的延伸。对于密度矩阵为 的混合态,冯诺伊曼熵定义为[12]:301

这公式涉及到矩阵对数(logarithm of a matrix),似乎很难计算,[注 5]但密度算符 是自伴算符,具有谱表示[8]:186-188

其中,本征值本征态,所有 形成一个规范正交基

因此,可以将密度矩阵 对角化,将冯诺伊曼熵更简单地以对角化后的密度矩阵 定义为

冯诺伊曼熵 又可以写为

从这形式,可以推论冯诺伊曼熵与经典信息论里的香农熵(Shannon entropy)相关。[12]

在这里,可以视每一个本征值 为处于本征态 的概率。假若某事件的发生概率为零,则这事件不应贡献出丝毫冯诺伊曼熵。从数学而言,以下极限为零:

因此,可以采用约定

纯态的冯诺伊曼熵为零,因为其密度矩阵对角化之后,只有一个元素为1,其它均为0。即所有对角元素 必定满足

完全随机混合态的 密度矩阵,其冯诺伊曼熵

假若,将冯诺伊曼熵视为量子系统失序现象的一种量度,则纯态拥有最小的冯诺伊曼熵 ,而完全随机混合态拥有最大的冯诺伊曼熵

每一次做投影测量,冯诺伊曼熵都会增加,永远不会减少,但是,对于广义测量(generalized measurement),冯诺伊曼熵可能会减少。[13][14]混合态的冯诺伊曼熵永远不小于零。因此,纯态可以通过投影测量改变为混合态,但是,非纯态的混合态永远无法通过投影测量改变为纯态。投影测量这动作促成了一种基本不可逆性的对于密度算符的改变,如同波函数坍缩。实际而言,相当反直觉地,投影测量这动作抹除了复合系统的量子相干性。更详尽内容,请参阅条目量子退相干

一个量子系统的子系统可以从混合态改变为纯态,但是所附出的代价是其它部分的冯诺伊曼熵会增加,就好似将一个物体放进冰箱来降低其,冰箱热交换器外的空气会变暖,而所增加的熵会比物体所减少的熵更多。更详尽内容,请参阅条目热力学第二定律

参阅

注释

  1. ^ 对于本征态 的投影算符 ,假若作用于量子态 ,则会得到 与对应概率幅的乘积:
    其中, 是在本征态 里找到 概率幅
  2. ^ 给定两个规范正交基 ,对于任意算符
    因此,对于不同的规范正交基,迹数是个不变量。
  3. ^ 3.0 3.1 量子退相干里,约化密度算符代表的是反常混合物,它不能被视为处于某个未知的纯态;它是依赖环境与系统之间的相互作用使得所有的非对角元素趋于零,实际而言,这些非对角元素所表现的量子相干性已被迁移至环境,只有从整个密度算符才能查觉到这量子相干性的存在。[6]:48-49
  4. ^ 在薛定谔绘景里,纯态随着时间而演化的形式为
    因此,密度算符与时间无关:
    采用薛定谔绘景来计算密度算符这动作很合理,因为密度算符是由薛定谔左矢与薛定谔右矢共同组成,而这两个矢量都是随着时间流逝而演进。
  5. ^ 矩阵对数(logarithm of a matrix)也是矩阵;后者的矩阵指数等于前者。这是纯对数的推广。这运算是矩阵指数的反函数。并不是所有矩阵都有对数,有些矩阵有很多个对数。

参考资料

  1. ^ von Neumann, John, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Göttinger Nachrichten, 1927, 1: 245–272 
  2. ^ 2.0 2.1 Ballentine, Leslie. Quantum Mechanics: A Modern Development 2nd, illustrated, reprint. World Scientific. 1998. ISBN 9789810241056. 
  3. ^ Fano, Ugo, Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix and Operator Techniques, Reviews of Modern Physics, 1957, 29: 74–93, Bibcode:1957RvMP...29...74F, doi:10.1103/RevModPhys.29.74. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 
  5. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Maximilian A. Schlosshauer. Decoherence: And the Quantum-To-Classical Transition. Springer Science & Business Media. 1 January 2007. ISBN 978-3-540-35773-5. 
  7. ^ Bernard d' Espagnat. Conceptual Foundations of Quantum Mechanics. Advanced Book Program, Perseus Books. 1999. ISBN 978-0-7382-0104-7. 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  9. ^ Dirac, P. A. M. Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2008, 26 (3): 376. Bibcode:1930PCPS...26..376D. doi:10.1017/S0305004100016108. 
  10. ^ Breuer, Heinz; Petruccione, Francesco, The theory of open quantum systems: 110, ISBN 9780198520634 
  11. ^ Schwabl, Franz, Statistical mechanics: 16, 2002, ISBN 9783540431633 
  12. ^ 12.0 12.1 Bengtsson, Ingemar; Zyczkowski, Karol. Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement 1st. 
  13. ^ Nielsen, Michael; Chuang, Isaac, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000, ISBN 978-0-521-63503-5 . Chapter 11: Entropy and information, Theorem 11.9, "Projective measurements cannot decrease entropy"
  14. ^ Everett, Hugh, The Theory of the Universal Wavefunction (1956) Appendix I. "Monotone decrease of information for stochastic processes", The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton Series in Physics, Princeton University Press: 128–129, 1973, ISBN 978-0-691-08131-1 
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