在量子力学 里,密度算符 (英语:density operator )与其对应的密度矩阵 (英语:density matrix )专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态矢量
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
来描述的量子态 ,混合态则是由几种纯态依照统计概率 组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
、
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
、
|
ψ
3
⟩
{\displaystyle |\psi _{3}\rangle }
、……的概率分别为
w
1
{\displaystyle w_{1}}
、
w
2
{\displaystyle w_{2}}
、
w
3
{\displaystyle w_{3}}
、……,则这混合态量子系统的密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
为
ρ
=
∑
i
w
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle {\rho }=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
。
从白炽灯 (1)发射出的光子处于完全随机偏振混合态(2),密度矩阵为
[
0.5
0
0
0.5
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}
。 通过垂直平面偏振器 (3)之后,光子处于垂直偏振纯态(4),密度矩阵为
[
1
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}
。
注意到所有概率的总和为1:
∑
i
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}
。
假设
{
|
b
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{|b_{i}\rangle ,\quad i=1,2,3,\dots ,n\}}
是一组规范正交基 ,则对应于密度算符的密度矩阵
ϱ
{\displaystyle \varrho }
,其每一个元素
ϱ
i
j
{\displaystyle \varrho _{ij}}
为
ϱ
i
j
=
⟨
b
i
|
ρ
|
b
j
⟩
=
∑
k
w
k
⟨
b
i
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
b
j
⟩
{\displaystyle \varrho _{ij}=\langle b_{i}|\rho |b_{j}\rangle =\sum _{k}w_{k}\langle b_{i}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|b_{j}\rangle }
。
对于这量子系统,可观察量
A
{\displaystyle A}
的期望值 为
⟨
A
⟩
=
∑
i
w
i
⟨
ψ
i
|
A
|
ψ
i
⟩
=
∑
i
⟨
b
i
|
ρ
A
|
b
i
⟩
=
tr
(
ρ
A
)
{\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\langle b_{i}|{\rho }{A}|b_{i}\rangle =\operatorname {tr} ({\rho }{A})}
,
是可观察量
A
{\displaystyle A}
对于每一个纯态的期望值
⟨
ψ
i
|
A
|
ψ
i
⟩
{\displaystyle \langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle }
乘以其权值
w
i
{\displaystyle w_{i}}
后的总和。
混合态量子系统出现的案例包括,处于热力学平衡 或化学平衡 的系统、制备历史不确定或随机 变化的系统(因此不知道到底系统处于哪个纯态)。假设量子系统处于由几个纠缠 在一起的子系统所组成的纯态,则虽然整个系统处于纯态,每一个子系统仍旧可能处于混合态。在量子退相干 理论里,密度算符是重要理论工具。
密度算符是一种线性算符 ,是自伴算符 、非负算符 (英语:nonnegative operator )、迹数 为1的算符。关于密度算符的数学形式论是由约翰·冯·诺伊曼 与列夫·郎道 各自独立于1927年给出。[ 1] [ 2] :48-55 [ 3]
假设一个量子系统的量子态是纯态,则这量子态可以用态矢量表示为
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,对应的密度算符定义为[ 4] :309-313
ρ
=
d
e
f
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |}
。
从密度算符的形式,可以推论密度算符是自伴算符 :
ρ
†
=
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
†
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
=
ρ
{\displaystyle \rho ^{\dagger }=(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\dagger }=|\psi \rangle \langle \psi |=\rho }
。
假设,物理量
A
{\displaystyle A}
是这量子系统的可观察量 ,其本征值 为
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的本征态
|
a
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
{\displaystyle |a_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}
形成一个规范正交基
{
|
a
i
⟩
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}
,则对可观察量
A
{\displaystyle A}
做测量得到
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的概率
P
(
a
i
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})}
为[ 5] :96-99
P
(
a
i
)
=
d
e
f
|
⟨
a
i
|
ψ
⟩
|
2
=
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
k
⟨
a
k
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
k
⟩
=
∑
k
⟨
a
k
|
Λ
(
a
i
)
ρ
|
a
k
⟩
=
tr
(
Λ
(
a
i
)
ρ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(a_{i})&\ {\stackrel {def}{=}}\ |\langle a_{i}|\psi \rangle |^{2}=\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{k}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|\Lambda (a_{i})\rho |a_{k}\rangle \\&={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )\\\end{aligned}}}
;
其中,
Λ
(
a
i
)
=
d
e
f
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
{\displaystyle \Lambda (a_{i})\ {\stackrel {def}{=}}\ |a_{i}\rangle \langle a_{i}|}
是对应于本征态
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
的投影算符 ,[ 注 1]
tr
(
)
{\displaystyle {\hbox{tr}}()}
是迹数 。
做实验测量可观察量
A
{\displaystyle A}
获得的期望值 为
⟨
A
⟩
=
d
e
f
∑
i
a
i
P
(
a
i
)
=
∑
i
a
i
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
i
a
i
⟨
a
i
|
ρ
|
a
i
⟩
=
∑
i
⟨
a
i
|
A
ρ
|
a
i
⟩
=
tr
(
A
ρ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}a_{i}{\mathcal {P}}(a_{i})=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\rho |a_{i}\rangle =\sum _{i}\langle a_{i}|A\rho |a_{i}\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )\\\end{aligned}}}
。
这种可观察量的期望值与迹数运算之间的关系称为迹定则 (trace rule)。[ 6] :36 对于不同的规范正交基,迹数是个不变量。采用任何规范正交基,都可以计算出同样迹数。[ 注 2] 另外,概率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性 ,这是很优良的性质,这意味着概率公式与期望值公式也适用于几个密度算符的线性组合。
由于
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
被归一化, 密度算符的迹数为1:
tr
(
ρ
)
=
tr
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
=
∑
i
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
i
⟨
ψ
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
=
⟨
ψ
|
ψ
⟩
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hbox{tr}}(\rho )&={\hbox{tr}}(|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum _{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}\langle \psi |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1\\\end{aligned}}}
。
对于任意归一化量子态
ϕ
{\displaystyle \phi }
,
0
≤
⟨
ϕ
|
ρ
|
ϕ
⟩
=
⟨
ϕ
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
ϕ
⟩
=
|
⟨
ϕ
|
ψ
⟩
|
2
≤
1
{\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle =|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}\leq 1}
,
所以,密度算符是非负算符 (nonnegative operator)。
将先前纯态密度算符的定义式加以延伸,假设在一个量子系统处于纯态
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
、
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
、
|
ψ
3
⟩
{\displaystyle |\psi _{3}\rangle }
、……的概率分别为
w
1
{\displaystyle w_{1}}
、
w
2
{\displaystyle w_{2}}
、
w
3
{\displaystyle w_{3}}
、……,则这混合态量子系统的密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
为[ 4] :311-313
ρ
=
d
e
f
∑
i
w
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle {\rho }\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
。
每一个概率都是非负实值,所有概率的总和为1:
0
≤
w
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq w_{i}\leq 1}
,
∑
i
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}
。
按照“无知诠释”,这种量子系统确定是处于某个纯态
ψ
i
{\displaystyle \psi _{i}}
,但是无法知道到底是哪一个纯态。这种可以用无知诠释来论述的量子系统称为“真混合物”(proper mixture),否则,称为“瑕混合物”(improper mixture)。[ 7] [ 注 3]
回想在纯态段落里,概率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性 ,这意味着对于混合态的密度算符,这些公式也都适用。加以延伸后的密度算符,也具有先前纯态的密度算符所拥有的性质:
密度算符是自伴算符:
ρ
=
ρ
†
{\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }}
。
密度算符的迹数为1:
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho )=1}
。
对可观察量
A
{\displaystyle A}
做测量得到
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的概率为
P
(
a
i
)
=
tr
(
Λ
(
a
i
)
ρ
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )}
。
做实验测量可观察量
A
{\displaystyle A}
获得的期望值 为
⟨
A
⟩
=
tr
(
A
ρ
)
{\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )}
。
密度算符是非负算符:
0
≤
⟨
ϕ
|
ρ
|
ϕ
⟩
≤
1
{\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1}
。
由于密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
是自伴算符,它具有谱表示
ρ
=
∑
i
a
i
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
{\displaystyle \rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|}
;
其中,
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
是本征值 为
a
i
{\displaystyle a_{i}}
的本征态 ,所有
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
形成一个规范正交基 。
按照自伴算符的定义,每一个本征值
a
i
{\displaystyle a_{i}}
是它自己的共轭:
a
i
=
a
i
∗
{\displaystyle a_{i}=a_{i}^{*}}
。
由于密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
是非负算符,每一个本征值
a
i
{\displaystyle a_{i}}
都是非负值。
由于密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
的迹数为1,
∑
i
a
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}=1}
。
给定一个量子系统,其所有可能的密度算符组成一个凸集 。假设
ρ
i
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \rho _{i},\quad i=1,2,3,...,n}
属于这凸集,则
ρ
=
∑
i
c
i
ρ
i
{\displaystyle \rho =\sum _{i}c_{i}\rho _{i}}
也属于这凸集;其中,
0
≤
c
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq c_{i}\leq 1}
是系数,
∑
i
c
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}c_{i}=1}
。[ 2] :51
由于纯态的密度算符定义式为[ 4] :311-313
ρ
=
d
e
f
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |}
,
所以纯态的密度算符具有特征
ρ
2
=
ρ
{\displaystyle \rho ^{2}=\rho }
。
tr
(
ρ
2
)
=
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})={\hbox{tr}}(\rho )=1}
。
否则,非纯态的密度算符遵守关系式
tr
(
ρ
2
)
<
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})<{\hbox{tr}}(\rho )=1}
。
另外,将纯态的密度矩阵
ϱ
{\displaystyle \varrho }
对角化后,只能有一个对角元素等于1,其它对角元素都等于0,例如,一种形式为[ 8] :178-183
ϱ
=
[
0
0
0
⋯
0
0
1
0
⋯
0
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
0
]
{\displaystyle \varrho ={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}
。
量子态的纯度
γ
{\displaystyle \gamma }
定义为
γ
=
tr
(
ρ
2
)
{\displaystyle \gamma ={\hbox{tr}}(\rho ^{2})}
。
纯态的纯度为1。处于N维希尔伯特空间、完全混合的混合态,其对角元素的数值为
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
、非对角元素的数值为0,其纯度为
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
。[ 6] :40-41
冯诺伊曼熵 是另一种描述量子态混合程度的量度。
态矢量:
|
z
+
⟩
=
[
1
0
]
{\displaystyle |z+\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
z
+
=
|
z
+
⟩
⟨
z
+
|
=
[
1
0
]
[
1
0
]
=
[
1
0
0
0
]
{\displaystyle \varrho _{z+}=|z+\rangle \langle z+|={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
z
−
⟩
=
[
0
1
]
{\displaystyle |z-\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
z
−
=
|
z
−
⟩
⟨
z
−
|
=
[
0
1
]
[
0
1
]
=
[
0
0
0
1
]
{\displaystyle \varrho _{z-}=|z-\rangle \langle z-|={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
x
+
⟩
=
[
1
2
1
2
]
{\displaystyle |x+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
x
+
=
|
x
+
⟩
⟨
x
+
|
=
[
1
2
1
2
]
[
1
2
1
2
]
=
[
1
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{x+}=|x+\rangle \langle x+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
x
−
⟩
=
[
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle |x-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
x
−
=
|
x
−
⟩
⟨
x
−
|
=
[
1
2
−
1
2
]
[
1
2
−
1
2
]
=
[
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{x-}=|x-\rangle \langle x-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
y
+
⟩
=
[
1
2
i
2
]
{\displaystyle |y+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
y
+
=
|
y
+
⟩
⟨
y
+
|
=
[
1
2
i
2
]
[
1
2
−
i
2
]
=
[
1
2
−
i
2
i
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{y+}=|y+\rangle \langle y+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
态矢量:
|
y
−
⟩
=
[
1
2
−
i
2
]
{\displaystyle |y-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
。
密度矩阵:
ϱ
y
−
=
|
y
−
⟩
⟨
y
−
|
=
[
1
2
−
i
2
]
[
1
2
i
2
]
=
[
1
2
i
2
−
i
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{y-}=|y-\rangle \langle y-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
对于本征态
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
的投影算符
Λ
(
a
i
)
{\displaystyle \Lambda (a_{i})}
,假若作用于量子态
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,则会得到
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
与对应概率幅 的乘积:
Λ
(
a
i
)
|
ψ
⟩
=
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
=
c
i
|
a
i
⟩
{\displaystyle \Lambda (a_{i})|\psi \rangle =|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =c_{i}|a_{i}\rangle }
;
其中,
c
i
{\displaystyle c_{i}}
是在本征态
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
里找到
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的概率幅 。
给定两个规范正交基
{
|
a
i
⟩
}
,
{
|
b
i
⟩
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle \},\{|b_{i}\rangle \}}
,对于任意算符
W
{\displaystyle W}
,
tr
(
W
)
=
∑
i
⟨
a
i
|
W
|
a
i
⟩
=
∑
i
,
j
⟨
a
i
|
b
j
⟩
⟨
b
j
|
W
|
a
i
⟩
=
∑
i
,
j
⟨
b
j
|
W
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
b
j
⟩
=
∑
j
⟨
b
j
|
W
|
b
j
⟩
{\displaystyle \operatorname {tr} (W)=\sum _{i}\langle a_{i}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle a_{i}|b_{j}\rangle \langle b_{j}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle b_{j}|W|a_{i}\rangle \langle a_{i}|b_{j}\rangle =\sum _{j}\langle b_{j}|W|b_{j}\rangle }
。
因此,对于不同的规范正交基,迹数是个不变量。
在量子退相干 里,约化密度算符 代表的是反常混合物,它不能被视为处于某个未知的纯态;它是依赖环境与系统之间的相互作用使得所有的非对角元素趋于零,实际而言,这些非对角元素所表现的量子相干性 已被迁移至环境,只有从整个密度算符才能查觉到这量子相干性的存在。[ 6] :48-49
在薛定谔绘景里,纯态随着时间而演化的形式为
|
ψ
i
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
(
t
−
t
0
)
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{i}(t)\rangle =e^{-iH(t-t_{0})}|\psi _{i}(t_{0})\rangle }
。
因此,密度算符与时间无关:
ρ
(
t
)
=
∑
i
w
i
|
ψ
i
(
t
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
)
|
=
∑
i
w
i
(
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
e
i
H
(
t
−
t
0
)
e
−
i
H
(
t
−
t
0
)
⟨
ψ
i
(
t
0
)
|
)
=
∑
i
w
i
(
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
0
)
|
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle e^{iH(t-t_{0})}e^{-iH(t-t_{0})}\langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle \langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\\end{aligned}}}
。
采用薛定谔绘景来计算密度算符这动作很合理,因为密度算符是由薛定谔左矢与薛定谔右矢共同组成,而这两个矢量都是随着时间流逝而演进。
矩阵对数 (logarithm of a matrix)也是矩阵;后者的矩阵指数 等于前者。这是纯对数 的推广。这运算是矩阵指数的反函数 。并不是所有矩阵都有对数,有些矩阵有很多个对数。
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