对称矩阵 - Wikiwand
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对称矩阵

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线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))} 向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵 向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积 · 内积 · 数量积 · 向量积 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 (LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解) · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 · 查论编

线性代数中,对称矩阵(英语:symmetric matrix)是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。

对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线(左上至右下)为轴进行对称。若将其写作,则对所有的ij

下列是3×3的对称矩阵:

下列是斜对称矩阵(英语:skew-symmetric matrix,又称反对称矩阵,英语:antisymmetric matrix):

例子

性质

  • 对于任何方形矩阵是对称矩阵。
  • 方形矩阵为对称矩阵的必要条件,即对称矩阵行数必等于列数。
  • 对角矩阵都是对称矩阵。
  • 当且仅当两者的乘法交换(即)时,两个对称矩阵的积()是对称矩阵。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。[来源请求]
  • 任何方形矩阵,如果它的元素属于一个特征不为2的域(例如实数),可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和:
  • 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积,每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
  • 若对称矩阵的每个元素均为实数,实对称矩阵
  • 一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
  • 如果X是对称矩阵,那么 也是对称矩阵.

分解

利用若尔当标准形,我们可以证明每一个实方阵都可以写成两个实对称矩阵的乘积,而每一个复方阵都可以写成两个复对称矩阵的乘积。[1]

每一个实非奇异矩阵都可以唯一分解成一个正交矩阵和一个对称正定矩阵的乘积,这称为极分解。奇异矩阵也可以分解,但不是唯一的。

Cholesky分解说明每一个实正定对称矩阵都是一个上三角矩阵和它的转置的乘积。

实对称矩阵

实对称矩阵是一个元素都为实数的对称矩阵,用<,>表示上的内积的实矩阵是对称的,当且仅当对于所有

实对称矩阵有以下的性质:

  • 实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量正交的。
  • 实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。
  • n阶实对称矩阵A必可对角化
  • 可用正交矩阵对角化。
  • K重特征值必有K个线性无关的特征向量,或者说必有r(λE-A)=n-k。

黑塞矩阵

实对称n × n矩阵出现在二阶连续可微的n元函数的黑塞矩阵之中。

Rn上的每一个二次型q都可以唯一写成q(x) = xTAx的形式,其中A是对称的n × n矩阵。于是,根据谱定理,可以说每一个二次型,不考虑Rn的正交基的选择,“看起来像”:

其中λi是实数。这大大简化了二次型的研究,以及水平集{x : q(x) = 1}的研究,它们是圆锥曲线的推广。

这是很重要的,部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现,都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述;这是泰勒定理的一个结果。

可对称化矩阵

矩阵A称为可对称化的,如果存在一个可逆对角矩阵D和一个对称矩阵S,使得:

A = DS.

可对称化矩阵的转置也是可对称化的,因为,而是对称的。


当且仅当满足以下的条件时,矩阵可对称化:

  1. 如果,那么
  2. 对于任何有限序列,都有

与不等式的关系

对称阵 Z 分解为3行3列:

当且仅当

时, 存在 , 使得

成立。

参见

参考文献

  1. ^ A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471. 
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