巴塞尔问题
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巴塞尔问题是一个著名的数论问题,这个问题首先由皮耶特罗·门戈利(英语:Pietro_Mengoli)在1644年提出,由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家,年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广,他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的素数个数》(On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)中所采用,论文中定义了黎曼ζ函数,并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的,它是欧拉和伯努利家族的家乡。
这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和,也就是以下级数的和:
这个级数的和大约等于1.644934(OEIS数列A013661)。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值,并证明它是正确的。欧拉发现准确值是,并在1735年公布;彼时他给出了一个错误的证明,真正严密的证明在1741年给出。